Matrice nilpotente

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Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent.

Cette notion joue un rôle important dans le monde des matrices. En effet, pour un maniement plus aisé, il est souvent plus simple d'utiliser les formes réduites des matrices. Ce qui revient à effectuer les calculs à l'aide d'une matrice semblable (obtenue par matrices de passage). Il est possible de montrer que, si le corps de nombres est scindé (c'est-à-dire si tout polynôme admet au moins une racine), alors toute matrice est semblable à la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, somme qui possède une forme particulièrement simple (décomposition de Dunford).

Cette réduction des matrices joue un rôle important dans la résolution de système d'équations linéaires et la résolution d'équations différentielles linéaires.

Dans cet article, les aspects théoriques, ainsi que l'essentiel des démonstrations des propositions énoncées, sont traitées dans endomorphisme nilpotent.

Sommaire

1 Définition
2 Approche par l'exemple
- 2.1 Nilpotence et polynômes
- 2.2 Nilpotence et base réduite
3 Propriétés
4 Exponentielle d'une matrice nilpotente
- 4.1 Exemple d'exponentielle et de matrice nilpotente
5 Sources

[modifier] Définition

On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente si et seulement si il existe $p \in \mathbb{N} \,$ tel que $A^p=0 \,$ où 0 désigne la matrice nulle. L'indice de nilpotence est le plus petit p tel que $A^p=0 \,$ .

Il existe une autre manière de définir une matrice nilpotente :

Soit E un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension n, u un endomorphisme et A sa matrice. A est nilpotente si et seulement l'endomorphisme est nilpotent, c'est-à-dire qu'il existe p tel que $u p = 0$ , ou $u p$ désigne $u\circ ... \circ u$ et 0 l'endomorphisme nul.

Remarque: On peut ainsi observer que si A et B sont deux matrices, alors AB=0 n'implique pas nécessairement que A=0 ou B=0. En effet, la matrice $A=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right) \,$ est nilpotente d'indice 2 donc $A 2 = 0$ avec $A \neq 0$

[modifier] Approche par l'exemple

Considérons un espace vectoriel réel de dimension 3 avec pour base B = (e₁, e₂, e₃). Considérons alors un endomorphisme u défini par sa représentation matricielle suivante dans la base B :

$u:\;\begin{pmatrix} 3 & 9 & -9\\ 2 & 0 & 0\\3 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

Si nous calculons la représentation matricielle de u² et de u³, on trouve :

$u^2:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 6 & 18 & -18\\6 & 18 & -18 \end{pmatrix}\quad et \quad u^3:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Puisque u³ est l'endomorphisme nul u est bien nilpotent d'indice 2. Son indice est plus petit que la dimension de l'espace. Dans le cas général, l'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours strictement inférieur à la dimension de l'espace.

[modifier] Nilpotence et polynômes

Déterminons alors le polynôme caractéristique P[X] de notre endomorphisme u:

$P[X]=\det(u-X\cdot I)=\;\begin{vmatrix} 3-X & 9 & -9\\ 2 & -X & 0\\3 & 3 & -3-X \end{vmatrix}=-X(3-X)(-3-X)-2(9(-3-X)+27)-27X=-X^3$

Nous avons l'égalité P[X] = -X³. Dans le cas où la dimension de l'espace vectoriel est égal à n, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme caractéristique soit égal à (-X)ⁿ.

La théorie des polynômes minimaux nous indique que le calcul du polynôme caractéristique est inutile dans notre exemple. Le polynôme X³ annule l'endomorphisme. Le polynôme minimal est alors un diviseur de ce polynôme. Or le seul diviseur normalisé (c'est-à-dire dont le monôme de plus haut degré est égal à 1) de -X³ qui annule u est lui-même. Le théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Il suffit alors de constater que le polynôme caractéristique est de degré égal à la dimension de l'espace, pour l'obtenir sans calcul. Une condition nécessaire est suffisante pour que l'endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme minimal soit de la forme X^p.

[modifier] Nilpotence et base réduite

Considérons alors le vecteur e₁. Il est d'indice 2 et la famille (e₁, u(e₁), u²(e₁)) est libre. Elle est libre et de cardinal égal à la dimension de l'espace vectoriel. Cette famille est donc une base. Dans cette base, la représentation matricielle de u prend alors la forme suivante:

$u:\;\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Là encore, ces propriétés sont génériques pour un endomorphisme nilpotent. Dans le cas général de dimension n, si x est un vecteur d'indice p alors p est inférieur ou égal à n et la famille (x, u(x),..., u^p(x)) est une famille libre. De plus, il existe toujours une base (e₁, e₂,..., e_n), tel que u(e_i) soit égal, soit à 0 soit à e_i+1, avec u(e_n) = 0. C'est la base réduite pour l'endomorphisme nilpotent.

[modifier] Propriétés

[modifier] Représentation réduite

Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple.

Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients ou j est égal à i+1 qui eux valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors à est semblable à B avec:

$B= \begin{bmatrix} \mathcal{J}_1 & & & & \\ & \mathcal{J}_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \mathcal{J}_r \\ \end{bmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \mathcal{J}_i= \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & (0) & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & (0) & & & 0 & 1 \\ & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$

Ce résultat est la conséquence directe de la représentation matricielle d'un endomorphisme nilpotent pour la réduction en dimension finie.

[modifier] Indice, déterminant, trace

Une autre conséquence des propriétés des endomorphismes nilpotents est la suivante:

L'indice de la matrice nilpotente est égale à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan moins 1.

Sa représentation réduite permet de calculer immédiatement son déterminant et sa trace:

Le déterminant et la trace d'une matrice nilpotente sont nuls.

[modifier] Produit et combinaisons linéaires

Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires.

En effet, soit p le plus grand des deux indices de A et B. alors:

$(AB)^p=A^pB^p=0\;$

et, comme soit i soit 2p-i est plus grand ou égal à p:

$(\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum_{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha^i \beta^{2p-i}A^i B^{2p-i}=0\;$

[modifier] Exponentielle d'une matrice nilpotente

Pour toute matrice A nilpotente, on pose :

$\exp(A):=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{1}{p!}A^p$

Cette définition a un sens, puisqu'en considérant une norme matricielle quelconque, la série correspondante à la somme est normalement convergente.

On peut remarquer que si q est l'indice de nilpotence de A, alors :

$\exp(A)=\sum_{p=0}^{q}\frac{1}{p!}A^p$

On peut alors vérifier que, si A est une matrice écrite sous sa forme réduite de Jordan, alors:

$\exp(A)= \begin{bmatrix} \exp(\mathcal{J}_1) & & & & \\ & \exp(\mathcal{J}_2) & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \exp(\mathcal{J}_r) \\ \end{bmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \exp(\mathcal{J}_i)= \begin{bmatrix} 0 & 1 & \frac{1}{2} & & & \frac{1}{p_i!}\\ & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{j!} & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ & (0) & & & 0 & 1 \\ & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$

exp(N) est une combinaison linéaire de matrices, donc une matrice. Et on vérifie :

$\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B) \,$

Ainsi, la matrice $\exp(A) \,$ est une matrice inversible. En effet, si A est nilpotent, -A l'est aussi et $\exp(A)\exp(-A)=\exp(A-A)=\exp(0)=I \,$ , ou I désigne la matrice identité. Donc $\exp(A) \,$ est inversible, et son inverse est $\exp(-A) \,$ .

[modifier] Exemple d'exponentielle et de matrice nilpotente

Pour tout naturel $n$ , l'ensemble $\mathbb{R}_n(x)$ des fonctions polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à $n$ , est un sous-espace vectoriel de dimension $n + 1$ de l'espace vectoriel réel $\R^\R$ . Soit $D$ la matrice de l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n(x)$ qui associe à toute fonction polynôme $p$ son polynôme dérivé $\mathrm D(p)=p'\,$ .

Comme $\mathrm D(x^k)=k \; x^{k-1}$ , on en déduit que $D n + 1 = 0$ .

Pour tout réel $a$ , désignons par $T a$ la matrice de l'endomorphisme de $\R_n(x)$ défini par $q = T a (p)$ si et seulement $q (x) = p (x + a)$ , c'est à dire $T a (p)(x) = p (x + a)$ . La formule de Taylor permet alors d'écrire la formule $e x p (a D) = T a$ , qu'on peut vérifier en prenant les matrices de $D$ et de $T a$ dans la base canonique $(1, x, x 2,..., x n)$ .