Lentille optique

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Une lentille

Une lentille est un élément, traditionnellement en verre, destiné à faire converger ou diverger la lumière. Il existe aussi des lentilles qui agissent sur d'autres types d'onde électromagnétique, au moyen d'un champ électrique et/ou d'un champ magnétique.

[modifier] Histoire

Les premières traces d'utilisation d'une lentille proviennent de la Grèce antique. Aristophane y fait notamment référence dans sa pièce Les Nuées écrite en 423 av. J.-C. en évoquant un verre à feu (une lentille convexe utilisée pour produire du feu en focalisant les rayons solaires). Les écrits de Pline l'ancien (23 - 79) montrent également qu'un tel dispositif était connu dans l'empire romain. Ils mentionnent ce qui peut être interprété comme la première utilisation d'une lentille pour corriger la vue en décrivant l'utilisation que fait Nero d'une émeraude de forme convexe lors des spectacles de gladiateurs (probablement pour corriger une myopie). Sénèque le Jeune (3 av. J.-C. - 65) décrit l'effet grossissant d'un globe en verre rempli d'eau. Le mathématicien arabe Alhazen (965-1038), a écrit le premier traité d'optique qui décrit comment le cristallin forme une image sur la rétine.

Les lentilles n'ont cependant pas été utilisées par le grand public avant la généralisation des lunettes de vue, probablement inventées en Italie dans les années 1280.

[modifier] Définition

Une lentille est un milieu homogène, isotrope, transparent, dont au moins l'une des faces n'est pas plane, admettant un axe de symétrie et dont l'indice de réfraction est supérieur à celui du milieu ambiant. Les lentilles sont réalisées en verre ou en matériau organique.

[modifier] Propagation des ondes

Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, les ondes lumineuses se propagent en ligne droite. On définit l'indice de réfraction du milieu par le rapport n=c/v, où v est la vitesse de la lumière dans le milieu, et c la célérité de la lumière dans le vide. La vitesse de la lumière est forcément inférieure à c, et l'indice de réfraction n - qui est une caractéristique propre du milieu considéré - est donc toujours supérieur à 1. Lorsque l'onde lumineuse rencontre un dioptre (surface séparant deux milieux homogènes d'indices différents), la lumière est déviée en suivant les lois de la réfraction de Snell-Descartes.

Un schéma d'optique est toujours réalisé en considérant un sens donné de propagation de la lumière : du fait du principe de retour inverse de la lumière, l'ensemble du schéma est renversé si on considère le sens de propagation opposé.

Lentille plan convexe convergente

Lentille plan concave divergente

Si on considère une onde plane (les surfaces d'onde - ou surfaces équiphases - sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation, c'est-à-dire que la direction de propagation est la même partout) qui arrive sur une lentille plan convexe perpendiculairement à sa face d'entrée, la partie de l'onde au bord de la lentille traversera moins de verre que celle au centre de la lentille : la surface équiphase va ainsi se déformer et devenir courbe : si la lentille permet de la transformer en une onde parfaitement sphérique, elle convergera vers un point source situé derrière la lentille.

Le schéma à gauche montre une telle lentille. Les traits rouges représentent les rayons lumineux, qui sont les directions de propagation de l'énergie lumineuse : dans le cas d'une onde plane, ces rayons sont parallèles entre eux. Ces rayons sont perpendiculaires à la face d'entrée de la lentille (les surfaces d'onde sont donc parallèles à cette face d'entrée) et ne sont pas déviés à sa traversée. Par contre, ils sont déviés lors de la traversée de la face de sortie, et convergent en aval de la lentille vers un point appelé point focal image.

Dans le cas de la lentille divergente à droite, la partie de l'onde au centre de la lentille traverse moins de verre que celle aux bords. L'onde en sortie est déformée en une onde sphérique qui semble provenir d'un point source situé en amont de la lentille. On peut de nouveau effectuer des constructions à partir des rayons lumineux, qui suivent les lois de Snell-Descartes : le point focal image se trouve en amont de la lentille

[modifier] Définitions

[modifier] Lentilles convergentes et divergentes

Selon la forme de ses faces d'entrée et de sortie, une lentille sera convergente ou divergente.

Une lentille convergente transforme un faisceau de lumière parallèle (onde plane) en un faisceau qui converge vers un point situé en aval de la lentille.
Une lentille divergente transforme un faisceau de lumière parallèle (onde plane) en un faisceau qui semble provenir d'un point situé en amont de la lentille.

Lentilles convergentes
1 - lentille biconvexe
2 - lentille plan-convexe
3 - ménisque convergent
Lentilles divergentes
4 - lentille biconcave
5 - lentille plan-concave
6 - ménisque divergent

On distingue six types de lentilles :

les lentilles convergentes :
- lentille biconvexe : les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés chacun d'un côté du plan de la lentille ;
- lentille plan-convexe : un des dioptres est sphérique, l'autre est plan ;
- ménisque convergent : les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés du même côté du plan de la lentille ;
les lentilles divergentes :
- lentille biconcave : les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés chacun d'un côté du plan de la lentille ;
- lentille plan-concave : un des dioptres est sphérique, l'autre est plan ;
- ménisque divergent : les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés du même côté du plan de la lentille.

Le symbole en double flèche est utilisé dans le cas des lentilles minces, qui permet de simplifier les constructions grâce à certaines approximations lorsque l'on respecte les conditions de Gauss, c'est-à-dire lorsque les rayons qui frappent la lentille frappent à proximité du centre optique de la lentille et que leur direction est proche de l'axe optique.

[modifier] Caractéristiques d'une lentille

On considère ici que l'on est dans les conditions de Gauss, et que le système est stigmatique : tous les rayons issus d'un point A convergent - après traversée de la lentille - en un point A', ou semblent provenir d'un point A' situé en amont de la lentille. A est appelé point objet, et A' est le point image de A.

Lentille convergente

Lentille divergente

Un système optique est un ensemble de milieux transparents et homogènes ou réflecteurs, séparés par des dioptres. Un système optique centré possède une symétrie de révolution autour d'un axe appelé axe optique. Une lentille seule possède donc un tel axe. On appelle centre optique le point de cet axe situé au milieu de la lentille.

On considère une onde lumineuse se propageant selon un sens donné. Le demi-espace situé en amont de la lentille par rapport à ce sens de propagation est appelé espace objet. Le demi-espace situé en aval de la lentille est appelé espace image.

On appelle foyer image F' l'image d'un objet situé à l'infini : c'est donc le point où focalisent des rayons qui se propagent parallèlement à l'axe optique.
On appelle foyer objet F le point dont l'image est située à l'infini : les rayons issus de ce point se propagent - après traversée de la lentille - parallèlement à l'axe optique.

En optique, on utilise des distances algébriques, marquées par une barre au-dessus de la quantité considérée, le sens de propagation de la lumière étant par convention le sens positif : ainsi, $\overline{S_1F'}$ est positive si F' est situé en aval de la lentille (lentille convergente) et négative si F' est en amont de la lentille (lentille divergente).

Si A est un objet situé en aval de la lentille, A est un objet virtuel et $\overline{S_2A}$ est positif ; si A est un objet réel situé en amont de la lentille, cette distance est négative. Pour une image réelle A' située en aval de la lentille, $\overline{S_1A'}>0$ , et pour une image virtuelle située en amont de la lentille, $\overline{S_1A'}<0$ (pour une lentille divergente, en prenant les notations des images ci-dessus, il faut inverser S₁ et S₂).

Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F' est appelé plan focal image, et ses points sont des foyers image secondaires.

[modifier] Lentilles minces

[modifier] Définition et propriétés

Une lentille mince est une lentille telle que son épaisseur reste petite devant les rayons de courbure de ses faces. Dans ce cas, les distances $\overline{FO}$ et $\overline{OF'}$ sont égales. $f'=\overline{OF'}$ est la distance focale de la lentille.

On appelle alors vergence d'une lentille la quantité $V=\frac{1}{f'}$ . L'unité de la vergence est la dioptrie (symbole δ ), homogène à des m^-1.

[modifier] Formules de conjugaison

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet et de son image par rapport au centre optique. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

$\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}$

Lorsque les conditions de Gauss sont vérifiées, le système est aplanétique, c'est-à-dire que l'image d'un objet perpendiculaire à l'axe optique est perpendiculaire à l'axe optique : on peut ainsi déterminer la position de l'image d'un point B hors d'axe en considérant l'image du point A qui est la projection de B sur l'axe optique (voir les images ci-dessous).

Notons également qu'un objet :

à l'infini donnera une image dans le plan focale image de la lentille
placé à 2*f(2 fois la focale) donnera une image identique à l'objet(grandissement=1) située à 2*f'(2 fois la focale image)
au-delà de la focale objet donnera une image réelle
dans le plan focale objet donnera une image à l'infini
entre la focale et le centre de la lentille donnera une image virtuelle.

[modifier] Constructions optiques

Pour effectuer des constructions sur un schéma optique, on considère 3 rayons particuliers :

le rayon passant par le centre optique n'est pas dévié (si le milieu est le même de chaque côté de la lentille) ;
le rayon parallèle à l'axe avant la lentille est dévié et le rayon sortant passe par le foyer image ;
le rayon passant par le foyer objet avant la lentille est dévié et ressort parallèle à l'axe.

Ceci permet de construire l'image A'B' d'un petit objet AB perpendiculaire à l'axe optique.

[modifier] Construction des rayons pour une lentille divergente

[modifier] Construction des rayons pour une lentille convergente

Construction de l'image de B par les rayons pour une lentille convergente

Construction de l'image de AB par les rayons pour une lentille convergente

Comme le montre la zone rouge sur la première image, tous les rayons issus de B passant par la lentille convergent en B'. Les 3 rayons particuliers permettent de déterminer l'emplacement de B'.

Il faut également noter que des rayons parallèles se coupent au même foyer secondaire. Pour un rayon quelconque, il est ainsi possible de tracer sa propagation après la lentille, en considérant le rayon parallèle qui passe par l'axe optique (et n'est donc pas dévié) : les deux rayons se coupent au niveau du plan focal image.

[modifier] Cas épais

[modifier] Propriétés

Les lentilles épaisses n'ont pas les mêmes propriétés simples que les lentilles minces. Les foyers focaux sont plus difficiles à définir : on n'utilise alors pas le centre optique, mais les plans principaux, qui sont les plans perpendiculaires l'axe optique passant par les points d'incidence au niveau des dioptres d'entrée et de sortie de la lentille. En général, les distances focales objet et image ne sont pas égales.

[modifier] Formules de conjugaison

On considère une lentille d'indice n dans l'air (indice 1). Soit S₁ l'intersection de la face d'entrée avec l'axe optique, S₂ l'intersection de la face de sortie avec l'axe optique, R₁ le rayon de la face d'entrée et R₂ le rayon de la face de sortie, on peut montrer que dans les conditions de Gauss :

$\frac{n}{\overline{S_1A_1}}- \frac{1}{\overline{S_1A}}=\frac{n-1}{R_1}$

$\frac{1}{\overline{S_2A'}}- \frac{n}{\overline{S_2A_1}}=\frac{1-n}{R_2}$

où A₁ est l'image de A par le dioptre constitué par la face d'entrée et A' l'image de A₁ par le dioptre constitué par la face de sortie : A' est donc l'image de A par la lentille.

Dans le cas d'une lentille mince, S₁ et S₂ sont presque confondus avec le centre optique et :

$\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$

On retrouve alors la loi de conjugaison de Descartes avec $f'=\frac{R_1R_2}{(n-1)(R_2-R_1)}$

[modifier] Aberrations

Les lentilles ne forment pas des images parfaites : l'image d'un point n'est pas un point, mais une tache. Ces aberrations affectent la qualité des images, mais peuvent cependant être minimisées.

On classe les aberrations en 2 grandes familles :

aberrations chromatiques : l'image se forme différemment selon la couleur de la lumière.
aberrations géométriques, qui caractérisent les écarts à l'optique géométrique, écarts d'autant plus grands que l'on s'éloigne des conditions de Gauss. Les aberrations géométriques se classent en considérant le développement limité qui permet de prendre en compte ces écarts.

[modifier] Aberration chromatique

Les lentilles n'étant autres que des dioptres, la réfraction de la lumière dépend de la longueur d'onde, comme pour le prisme : c'est le phénomène de dispersion. En conséquence, notamment, le foyer pour le bleu est-il plus près de la lentille que pour le rouge (le bleu étant plus dévié).

L'aberration chromatique peut être corrigée par l'adjonction d'une deuxième lentille.

[modifier] Aberration sphérique

Pour une lentille sphérique, les rayons se trouvant au bord de la lentille focalisent à une place légèrement différente des rayons se trouvant au centre : l'image d'un point est donc une tache floue.

Ceci est dû au fait qu'une surface sphérique n'est pas la forme idéale pour réaliser une lentille. Il s'agit cependant de la forme la plus simple à polir, et elle reste très souvent utilisée.

L'aberration sphérique peut être minimisée en choisissant soigneusement une courbure particulière de la surface de la lentille : on utilise des lentilles non-sphériques que l'on nomme lentilles asphériques, utilisables pour des applications particulières bien déterminées.

Dans l'animation ci-dessous, les rayons émergeants sont construits en respectant rigoureusement la réfraction en I et J et l'on voit que le foyer se déplace. Pour obtenir un foyer là où il est indiqué dans les schémas plus haut il faut en pratique utiliser un diaphragme pour être dans les conditions de Gauss (c'est-à-dire de stigmatisme approché).

[modifier] Coma

Les rayons parallèles qui ne sont pas dans l'axe optique de la lentille ne convergent pas tous en un même point sur le plan focal. Les rayons qui passent sur les bords de la lentille peuvent être focalisés plus loin ou plus près de l'axe optique que ceux passant au centre de la lentille. On parle respectivement de coma positive et de coma négative.

Comme pour l'aberration de sphéricité, il est possible de réduire la coma en choisissant une courbure particulière de la lentille.

[modifier] Astigmatisme

[modifier] Distorsion

Distorsion de l'image

La distorsion est proportionnelle à y³ (y étant la taille de l'image). Cette aberration est donc indépendante de la dimension de la pupille. À la limite, la distorsion existe même si la pupille est réduite à un point. En fait la distorsion n'est pas vraiment une aberration car ici l'image d'un point est un point. Seule la position du point image est modifiée par rapport à celle prévue par l'optique géométrique.

[modifier] Superlentille

Une équipe de l'institut Max-Planck de Martinsried (Allemagne) et de l'université du Texas a fabriqué une lentille permettant de voir des détails jusqu'à vingt fois plus fins que la longueur d'onde utilisée (les lois classiques de l'optique interdisent de distinguer des objets deux fois inférieurs à la longueur d'onde). Le caractère métallique et l'extrême minceur de la superlentille expliquent cette précision, prédite par la théorie depuis 2000. Les chercheurs veulent passer à des longueurs d'ondes visibles plus courtes que l'infrarouge de leur expérience, pour une miniaturisation accrue de la gravure en microélectronique.