Formule de Stirling
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de 
Sommaire |
[modifier] Un équivalent de la factorielle
La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini (quand n tend vers l'infini) :
que l'on trouve souvent écrit ainsi :
[modifier] Version continue
La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler.
[modifier] Histoire
La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre sous la forme
,
- où C est une constante réelle (non nulle).
L'apport de Stirling fut de prouver que la constante est 
. Une démonstration classique de ceci utilise les intégrales de Wallis.
Démonstration du résultat de Moivre
, il suffit de montrer que la suite 
, on peut définir :
![v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)-1 = O\left(\frac{1}{n^2}\right)](../../../math/e/c/e/ece2fd0ec6d9df6972834ef1cb1bc167.png)
est une série absolument convergente, donc en écrivant [modifier] Nota
On peut améliorer la qualité de l'approximation de Stirling en utilisant le développement de la fonction Γ ; on trouve (après quelques efforts...) :
![n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + o \left(\frac{1}{n^5} \right) \right]](../../../math/d/6/9/d692d083a722d7898648844b755042ba.png)
[modifier] Calculs numériques
Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n
 |
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
