Формула Стірлінґа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Формула Стірлінґа є наближенням для великих факторіалів та названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формально, вона твердить що

$\lim_{n \to \infty}{n! \over {n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}} = 1$

або

$n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n \to \infty)$

[ред.] Збіжність та похибки

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для $Γ(z)$ та $n!$ :

$\Gamma(z) = e^{-z}z^{z-1/2}\sqrt{2\pi}\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over{288z^2}}-{139 \over {51840z^3}}-{571 \over {2488320z^4}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}$

де $(\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}<\pi)$ (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень $\begin{vmatrix}z\end{vmatrix}$ : для дійсних додатніх z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифму від n!:

$\log n!=n\log n - n + {1\over 2}\log(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots$

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів аба гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.