Charles Gustave Jacob Jacobi

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Charles Gustave Jacob Jacobi, ou Carl Gustav Jakob Jacobi, (10 décembre 1804 à Potsdam - 18 février 1851 à Berlin) est un mathématicien allemand.

Né à Potsdam, il étudia à l'Université de Berlin, où il obtint son doctorat en 1825, à peine âgé de 21 ans ! Il fit sa thèse sur une discussion analytique de la théorie des fractions. En 1829, il devint professeur de mathématique à l'Université de Königsberg, et ce jusqu'en 1842. Il fit une dépression, et de fait partit pour un voyage en Italie en 1843. A son retour, il déménagea à Berlin où il vécut comme un pensionnaire royal jusqu'à sa mort.

Jacobi écrivit le traité classique sur les fonctions elliptiques, d'une importance capitale en physique mathématique, à cause du besoin des équations intégrés du second ordre pour l'énergie cinétique. Les équations du mouvement dans leur forme rotationnelle sont intégrables seulement dans les trois cas du pendule, de la toupie symétrique dans un champ gravitationnel, et du corps tournant librement, où les solutions s'expriment explicitement à l'aide des fonctions elliptiques.

Jacobi fut aussi le premier mathématicien à appliquer les fonctions elliptiques à la théorie des nombres, prouvant par exemple la théorie du nombre polygonal de Pierre de Fermat. Il donna de nouvelles preuves de la loi de réciprocité quadratique, et en apporta des généralisations ; pour ce faire, il introduit ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de sommes de Jacobi. La fonction théta de Jacobi, si fréquemment appliquée dans l'étude des séries hypergéométriques, porte son nom. Il en donna l'équation fonctionnelle.

Ses recherches dans les fonctions elliptiques, théorie pour laquelle il établit de nouvelles bases, et plus particulièrement son développement de la fonction théta, apparaissent dans ses grands traités Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Königsberg, 1829), et dans les aticles ultérieurs dans le journal de Crelle. Elles constituent l'une de ses plus grandes découvertes analytiques. Dans un second plan d'importance, il mena des recherches approfondies dans les équations différentielles, en particulier la théorie du dernier multipliant, laquelle est soigneusement traitée dans son Vorlesungen über Dynamik, édité par R. F. A. Clebsch (Berlin, 1866).

Ce fut surtout en analyse que Jacobi fit de nombreuses contributions, avec des applications aux autres domaines des mathématiques, comme le montre la longue liste de ses publications dans le journal de Crelle ou dans d'autres journaux. Il fut l'un des fondateurs de la théorie des déterminants. En particulier, il inventa le déterminant de la matrice (dite jacobienne) formée par les n² dérivées partielles de n fonctions données de n variables indépendantes. Son déterminant, le déterminant jacobien est crucial dans le calcul différentiel et intégral.

Dans un article de 1835, Jacobi démontra ceci :

Si une fonction d'une variable complexe est périodique, alors elle a au plus deux périodes indépendantes. Dans ce cas, le quotient de ces périodes n'est pas un nombre réel.

Ces fonctions doublement périodiques sont des fonctions elliptiques.

Jacobi réduisit l'équation quintique générale à la forme,

x⁵ − 10q²x = p.

Ses présentations sur les transcendants abéliens sont tout aussi remarquables, tout comme ses recherches dans la théorie des nombres, dans lesquelles il a surtout complété les travaux de Gauss.

La théorie planétaire et d'autres problèmes dynamiques particuliers occupèrent son attention de temps en temps. Pendant qu'il contribuait à la mécanique céleste, il introduit la jacobienne pour un système de coordonnées sidérales.

Il laissa une grande quantité de manuscrits, dont une partie a été publiée irrégulièrement dans le journal de Crelle. Ses autres travaux comprennent Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839), et Opuscula mathematica (1846—1857). Ses œuvres complètes (Gesammelte Werke) (1881–1891) furent publiées par l'Académie de Berlin. Sa réalisation la plus connue est probablement la théorie de Hamilton-Jacobi de la mécanique newtonienne.

L'identité de Jacobi apparaît dans l'étude des algèbres de Lie ; le jacobien est incontournable dans l'étude des équations différentielles ; le symbole de Jacobi est toujours utilisé en théorie des nombres et même en cryptographie (domaine postérieur au XIXe siècle). Son travail est resté.

Sur la Lune, le cratère de Jacobi porte son nom.

[modifier] Liens internes

• Jacobien
• Identité de Jacobi
• Formule de Jacobi
• Polynômes de Jacobi
• Fonction elliptique de Jacobi
• Méthode de Jacobi
• Théorème de Carathéodory-Jacobi-Lie

[modifier] Références

• Men of Mathematics, Eric Temple Bell, Simon and Schuster, New York, 1986.
  
• New Foundations of Classical Mechanics, David Hestenes, Kluwer Adademic Publishers, Dordrecht, 1986.

[modifier] Lien externe

• John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Carl Gustav Jakob Jacobi, sur le MacTutor History of Mathematics archive.