Courbe de Lissajous

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Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

[modifier] Définition mathématique

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

$x( \theta )=a\sin(\theta)\,$
$y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,$

où $0\le \phi \le \frac {\pi}{2}$ et $n\ge 1\,$

$n\,$ est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme $n=\frac{p}{q}\,$ et l'équation paramétrique de la courbe devient :

$x( \theta )=a\sin(p\theta)\,$
$y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,$
$0\le \theta \le 2\pi$

où $0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}$

[modifier] Propriétés

Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a,a]x[-b,b].
Si n est rationnel,
- la courbe est une courbe algébrique de degré 2q si $\phi \in \left]0,\frac{\pi}{2p} \right]$ pour p impair ou $\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right[$ pour p pair.
- la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si $\phi=0\,$ pour p impair ou $\phi=\frac{\pi}{2p}$ pour p pair.

Si n est un entier pair et $\phi = \frac{\pi}{2}$ , ou si n est un entier impair et $\phi =0\,$ , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev T_n.

[modifier] Cas particuliers

si a=b et n=1, la courbe est une ellipse.
- si $\phi=\frac{\pi}{2}$ , cette ellipse est un cercle
- si $\phi=0\,$ , cette ellipse est un segment de droite
si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace
- si $\phi=\frac{\pi}{2}$ , cette besace est une portion de parabole
- si $\phi=0\,$ , cette besace est une lemniscate de Gerono