Polynôme de Tchebychev

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Les polynômes de Tchebychev sont nommés d'après le mathématicien Pafnouti Tchebychev. Ils forment une famille de polynômes indexés par les entiers naturels. Le polynôme d'indice n est uniquement défini par la propriété suivante : pour tout nombre réel $x$ , on a

$T_{n}(\cos(x)) = \cos(nx) \,$ .

Pour tout réel X, compris entre -1 et 1, on a:

$T_n(X)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} {n\choose 2k}~X^{n-2k}~(X^2-1)^k$

Les premiers polynômes de Tchebychev sont donc

$T_0=1\,$

$T_1=x\,$

$T_2=2x^2-1\,$

$T_3=4x^3-3x\,$

[modifier] Résultats

Les polynômes $T n$ sont uniques.

Preuve : On suppose que $T n$ et $Q n$ vérifient la propriété énoncée ci-dessus.
Alors : $T n (cos x) - Q n (cos x) = cos(n x) - cos(n x) = 0$ . Le polynôme $[T n - Q n]$ admet donc une infinité de racines sur [-1,1], ainsi : $T n - Q n = 0$ .

Les polynômes $T n$ sont de degré n.

Les racines de $T n$ sont toutes dans [-1,1] et vérifient :

$a_k = \cos\left(\frac{(1+2k)\pi}{2n}\right)\;,\quad k\in\{0,...,n-1\}$

On remarque aussi que les racines de $T n$ ( $a k$ ) et celle de $T n + 1$ ( $b k$ ) sont entrelacées :

b k + 1 < a k < b k

Les polynômes $T n$ vérifient une relation de récurrence.

$T_{n+2}(\cos(x))+T_{n}(\cos(x)) = 2(\cos(x)) \times T_{n+1}(\cos(x))$

Comme les racines sont comprises entre [-1,1], on peut donc écrire :

$T_{n+2}(X) = 2X T_{n+1}(X) - T_{n}(X)\,$

On en déduit de manière récurrente que : $T n$ est de la même parité que n et de coefficient dominant $2 n - 1$ .

Il existe deux types de polynômes de Tchebychev : de première espèce et de deuxième espèce.

$P_{n}(\cos(x)) = \cos(n \times x)$

$Q_{n}(\cos(x)) = \frac{\sin(n \times x)}{\sin(x)}$

[modifier] Orthogonalité

T_n forme une suite de polynômes orthogonaux avec le poids

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

sur l'intervalle [−1,1], c'est-à-dire, nous avons:

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$

De même, les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont orthogonaux avec le poids

$\sqrt{1-x^2}$

sur l'intervalle [−1,1], c'est-à-dire, nous avons:

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n=m \end{cases}$

[modifier] Intérêt

Tchebychev ne s'est pas penché sur ces polynômes en partant de la formule trigonométrique. Tout d'abord, il a découvert ceux-ci en résolvant le problème de convergence des interpolations de Lagrange.

En effet, on peut voir que si l'on prend des points d'interpolations uniformément répartis, le polynôme a un comportement complètement inadapté près des bornes (effet de bord). Seulement, on peut démontrer que pour minimiser l'erreur engendrée par l'interpolation, on choisit les racines des polynômes de Tchebychev (c'est la meilleure minoration de l'erreur) comme points d'interpolations.

Ainsi la courbe du polynôme issu de l'interpolation et celle de la fonction de référence ont « même formes ».