利萨茹曲线

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数学上，利萨茹(Lissajous)曲线（又称利萨茹图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

[编辑] 数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

其中，。

n称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则，参数方程可以写作:

，

其中。

[编辑] 性质

• 若n为无理数，曲线在长方形中稠密。
• 若n为有理数，
  • 曲线是2q次代数曲线若对奇数p，或对偶数p。
  • 曲线是q次代数曲线的一部份若对奇数p，或 对偶数p。

• 若n为偶数而，或若n为奇数而，则曲线是第n个切比雪夫多项式T_n的曲线的一部份。

[编辑] 特别情况

• 若a = b，n = 1，则曲线是椭圆。
  • 若，则这椭圆其实是圆。
  • 若，则这椭圆其实是线段。
• 若a = b，n = q = 2 (所以p = 1)，则曲线是besace。
  • 若，则这besace是拋物线一部份。
  • 若，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中φ = 0，a = b, p是奇数，q是偶数， | p − q | = 1。

p = 1, q = 2	p = 3, q = 2	p = 3, q = 4	p = 5, q = 4
p = 5, q = 6	p = 9, q = 8