Congettura
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Una congettura (dal latino cumjecturam, ovvero che giace insieme) è una affermazione o un giudizio fondato sull'intuito, reputato come probabilmente vero, ma non dimostrato.
Congetturale significa presumibilmente reale, vero, o genuino, in base a cause fondamentalmente inconcludenti (confronta: ipotetico). Il termine fu utilizzato da Karl Popper, nel contesto della filosofia scientifica.
In matematica, una congettura è un'affermazione che è stata proposta come vera, ma che nessuno è stato in grado di dimostrare o confutare.
Quando una congettura viene dimostrata, essa diventa un teorema, e viene a far parte dei fatti matematici conosciuti. Ma fino a quel momento, i matematici devono restare estremamente cauti riguardo al suo uso all'interno delle strutture logiche.
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[modifica] Congetture famose
Prima della dimostrazione del 1995 di Andrew Wiles, la più famosa di tutte le congetture matematiche era l'ultimo teorema di Fermat - che veniva chiamata teorema, pur non essendo dimostrata, solo per motivi storici. Nel frattempo, fu dimostrato un caso speciale della congettura di Taniyama - Shimura, anch'essa, per molto tempo, un problema aperto; recentemente questa congettura è stata completamente provata. Altre congetture famose includono:
- La congettura di Goldbach.
- La congettura dei numeri primi gemelli.
- L'ipotesi di Riemann.
- L'ipotesi che non esistano numeri perfetti dispari.
- La congettura di Collatz.
- P ≠ NP.
- La congettura di Poincaré, per cui nel 2003 Grigori Perelman ha presentato una dimostrazione, la cui correttezza non è ancora stata confermata ufficialmente.
- La congettura abc.
Il programma di Langlands è un'ampia rete di "congetture unificatrici" che collegano diversi sottocampi della matematica, per esempio la teoria dei numeri e la teoria della rappresentazione dei gruppi di Lie; alcune di queste congetture sono già state dimostrate.
[modifica] Controesempi
Diversamente dalle scienze empiriche, la matematica è basata sulle verità dimostrabili; non si può applicare la massima riguardo all'"eccezione che conferma la regola". Nonostante molte delle congetture famose siano state testate su intervalli di numeri astronomici (solitamente con l'aiuto del computer), ciò non fornisce alcuna garanzia dell'inesistenza di un controesempio, che le confuterebbe immediatamente. Per esempio, la congettura di Collatz, che riguarda le sequenza di numeri generate da un certo algoritmo, è stata verificata per tutti i numeri fino a 1.2 × 1012 (oltre un milione di milioni); tuttavia, essa mantiene ancora lo status di congettura. Stessa sorte per l'ipotesi di Riemann, per la quale sono state verificate miliardi di soluzioni, e resta comunque non provata.
[modifica] L'uso di congetture nelle dimostrazioni condizionali
A volte una congettura viene chiamata ipotesi quando viene utilizzata frequentemente come assunzione nella dimostrazione di altri risultati. Per esempio, l'ipotesi di Riemann è una congettura della teoria dei numeri che consente (fra le altre cose) di effettuare stime molto precise sulla distribuzione dei numeri primi. Pochi teorici dei numeri mettono in dubbio la veridicità dell'ipotesi di Riemann (si dice che Atle Selberg sia scettico, e che lo sia stato anche John Edensor Littlewood). In anticipazione alla sua eventuale dimostrazione, molti matematici hanno sviluppato dimostrazioni che dipendono dalla verità di questa congettura. Esse sono chiamate dimostrazioni condizionali: le congetture assunte come vere fanno parte delle ipotesi della dimostrazione.
Queste "dimostrazioni", tuttavia, dovrebbero essere messe da parte se si scoprisse che l'ipotesi di Riemann è falsa (e discorso analogo vale per altre ipotesi meno note), per cui vi è un notevole interesse nella verifica della verità o falsità di congetture di questo tipo. Vi è qualcosa di dubbio riguardo alle dimostrazioni condizionali e a come debbano essere considerate in matematica; sono effettivamente utili? Tutto sommato esse debbono essere considerato come una delle numerose tecniche di "risoluzione" dei problemi: esse intendono ridurre un problema ad un altro che non sappiamo ancora risolvere, contrariamente all'obiettivo (certamente più proficuo e desiderabile) di ridurre un problema ad un altro che è già stato risolto.
[modifica] Congetture indecidibili
Non tutte le congetture finiscono per essere dimostrate vere o false. È stato infatti dimostrato che l'ipotesi del continuo, che tenta di accertare la cardinalità relativa di certi insiemi infiniti, è indecidibile (o indipendente) dall'insieme generalmente accettato di assiomi della teoria degli insiemi. È dunque possibile adottare questa affermazione, o la sua negazione, come un nuovo assioma in maniera consistente (così come possiamo porre sia vero che falso il postulato delle parallele di Euclide).
In questo caso, se una dimostrazione usa quest'asserzione, i ricercatori andrano spesso alla ricerca di una dimostrazione che non richiede l'ipotesi (allo stesso modo, quando è possibili, è preferibile che gli assiomi della geometria euclidea siano dimostrati senza utilizzare il postulato delle parallele). Nella pratica, l'unica importante eccezione a questa consuetudine è l'assioma di scelta -- tranne che non stiano studiando l'assioma in particolare, la maggioranza dei ricercatori non si preoccupa di stabilire se un risultato dipenda o no dall'assioma di scelta.
