Coefficients de Fresnel

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Les coefficients de Fresnel, introduites par Augustin Jean Fresnel (1788-1827), interviennent dans la description du phénomène de réflexion-réfraction des ondes électromagnétiques à l'interface entre deux milieux, dont l'indice de réfraction est différent. Ils expriment les liens entre les amplitudes des ondes réfléchies et transmises par rapport à l'amplitude de l'onde incidente.

Pour cela on introduit le coefficient de réflexion en amplitude r et le coefficient de transmission en amplitude t du champ électrique tels que :

$r = \frac{E_{r}}{E_{i}} \ \ \ et \ \ \ t = \frac{E_{t}}{E_{i}}$

où $E i$ , $E r$ et $E t$ sont les amplitudes associées respectivement au champ électrique incident, réfléchi et transmis (réfracté).

Schéma le la réflexion-transmission d'une onde plane à lors d'un saut d'indice

En général, ces coefficients dépendent:

des constantes diélectriques des milieux d'entrée et de sortie, respectivement $ε 1$ et $ε 2$
de la fréquence f de l'onde incidence
des angles d'incidence $θ i = θ 1$ et de réfraction-transmission $θ t = θ 2$ ,
de la polarisation des ondes. Ce qui amène à une polarisation éventuelle d'une onde initialement non polarisée.

Ils sont obtenus en considérant les relations de continuité à l'interface des composantes tangentielles des champs électriques et magnétiques associés à l'onde.

Sommaire

1 Calculs des coefficients dans un cas usuel
2 Différence entre les milieux diélectriques et métalliques
3 Voir aussi
4 Ouvrages de référence

[modifier] Calculs des coefficients dans un cas usuel

Considérons 2 milieux, d'indices de réfraction différents, séparés par une interface plane. L'onde incidente est une onde plane, de vecteur d'onde $''' k'''$ , et de pulsation $ω$ .

Les coefficients de Fresnel dépendent de la polarisation du champ électromagnétique, on considère en général 2 cas:

Transverse électrique (TE): le champ électrique incident est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, le champ magnétique est contenu dans le plan d'incidence.
Transverse magnétique (TM): le champ magnétique incident est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, le champ électrique est contenu dans le plan d'incidence.

[modifier] Hypothèses de travail

Les coefficients de Fresnel calculés ici ne sont valables que sous les hypothèses suivantes sur les milieux

Les milieux considérés sont non magnétiques
Les milieux considérés sont linéaires, homogènes et isotropes

On rajoute aussi une hypothèse de calcul à savoir l'hypothèse harmonique qui consiste à considérer les grandeurs électromagnétiques à une fréquence particulière, et à les noter comme les parties réelles de grandeurs complexes. Ceci simplifie les calculs et permet aussi de déduire des équations de manière esthétique des phénomènes électromagnétiques comme l'absorption, le déphasage de l'onde, les ondes évanescentes...

[modifier] Cas des ondes transverses électriques

Champ électrique polarisé perpendiculairement au plan d'incidence

Considérons une onde plane: $\vec{E} \ = \ E \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega.t)} \vec{e}_{z}$

Dans le cas où le champ électrique incident est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, la composante tangentielle du champ électrique et magnétique est continue:

$E i + E r = E t$ soit $r T E + 1 = t T E$
$k i z (1 - r T E) = k t z t T E$

$r_{TE}=\frac{k_{iz}-k_{tz}}{k_{iz}+k_{tz}}$

$t_{TE}=\frac{2k_{iz}}{k_{iz}+k_{tz}}$

En introduisant, pour chaque milieu, la relation de dispersion $k = \frac{\omega}{c} \, n$ , on obtient les coefficients de Fresnel en fonction des caractéristique de l'incidence ( $n 1,θ 1$ ) et de la réfraction ( $n 2,θ 2$ ) :

$r_{TE}=\frac{n_{1} \cos \theta_{1} - n_{2} \cos \theta_{2}} {n_{1} \cos \theta_{1} + n_{2} \cos \theta_{2}}$

$t_{TE}=\frac{2n_{1} \cos \theta_{1}} {n_{1} \cos \theta_{1} + n_{2} \cos \theta_{2}}$

Discussion : les indices de réfraction étant complexes, la polarisation de l'onde transmise et réfléchie peut être modifiée par rapport à l'onde incidente. Même dans le cas où ces indices seraient réels, dans le cas $n_{2} \ > \ n_{1}$ , il se peut que le coefficient de réflexion devienne négatif, l'onde réfléchie est alors déphasée de 180° par rapport à l'onde incidente (voir figure).

[modifier] Cas des ondes transverses magnétiques

$r_{TM}=\frac{\epsilon_{2}k_{1z}-\epsilon_{1}k_{2z}} {\epsilon_{2}k_{1z}+\epsilon_{1}k_{2z}}$

$t_{TM}=\frac{2\epsilon_{2}k_{1z}}{\epsilon_{2}k_{1z}+\epsilon_{1}k_{2z}}$

Le cas TM est remarquable à deux titres :

le coefficient de réflexion peut devenir nul pour un angle d'incidence, dit angle de Brewster;
dans certaines situations (interface métal-air), le dénominateur du coefficient de réflexion TM peut devenir nul (le coefficient devient infini !). On obtient alors une onde réfléchie et une onde transmise sans onde incidente : l'étude du dénominateur précise alors les conditions de réalisation, les composantes des vecteurs d'ondes sont alors imaginaires. Le processus emploie donc les ondes évanescentes, et provoque l'apparition des plasmons de surface.

[modifier] Différence entre les milieux diélectriques et métalliques

Les coefficients de Fresnel devraient être différents pour des diélectriques et des métalliques, puisque la présence ou non de courants et de charges libres dans les milieux n'implique pas les mêmes relations de passage, donc les mêmes coefficients de Fresnel. Cependant dans le cas de beaucoup de métaux dit "ohmiques" (décrit par une conductivité $σ$ ), il est possible de remplacer un métal ohmique homogène ( $ε,μ 0,σ$ ) par un diélectrique homogène de permittivité $\epsilon_{eff} = \epsilon + \frac{i \sigma}{\omega}$ . Par cette description équivalente métal-diélectrique en régime harmonique, on peut considérer les mêmes expressions pour les coefficients de Fresnel, que ce soit un diélectique ou un métal ohmique. Dans ce cas c'est l'expression de la permittivité qui change.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Ouvrages de référence

J.-Ph. Perez : "Optique : Fondements et application", Dunod Editions.
R. Petit : "Ondes électromagnétiques en radioélectricité et en optique", Masson Editions.