Chaos quantique

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Le « chaos quantique » est un raccourci qui désigne un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique. Ce champ de recherche tente essentiellement de répondre à la question :

Quel est le comportement en mécanique quantique d'un système classiquement chaotique ?

Ces recherches ont montré que :

• il n'existe pas de « chaos quantique » au sens strict du terme, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de divergence exponentielle des états quantiques au cours du temps dans l'espace de Hilbert qui serait l'analogue de la divergence exponentielle des orbites dans l'espace des phases classique. Cette absence de « sensibilité aux conditions initiales » en mécanique quantique est lié au fait que l'équation de Schrödinger est une équation linéaire. C'est pourquoi Michael Berry a suggeré d'utiliser l'expression « chaologie quantique » à la place de « chaos quantique ».

• cependant, les système physiques classiquement chaotiques présentent certaines propriétés quantiques clairement distinctes de celles des systèmes classiquement intégrables : il existe en quelque sorte des « signatures » quantiques du chaos classique sous-jacent.

Sommaire 1 Signatures quantique du chaos classique 1.1 Orbites périodiques & spectre d'énergie 1.2 Propriétés statistiques du spectre d'énergie 1.3 Cicatrices (scars) 2 Articles liés 3 Bibliographie 3.1 Généralités 3.2 Formule des traces de Gutzwiller 3.3 Optique atomique 4 Notes & références

[modifier] Signatures quantique du chaos classique

[modifier] Orbites périodiques & spectre d'énergie

En utilisant la formulation de Feynman en intégrale de chemin de la mécanique quantique, Martin Gutzwiller (IBM, New York) a démontré en 1971 une relation intégrale liant à la limite semi-classique le spectre d'énergie quantique d'un système physique aux orbites périodiques classiques de ce même système. Cette relation est aujourd'hui appelée formule des traces de Gutzwiller en son honneur^[1]. Or, les orbites périodiques ont des propriétés très différentes selon que la dynamique hamiltonienne classique est intégrable ou chaotique.

Il est intéressant de remarquer qu'il existe un système physique pour lequel la formule des traces approchée de Gutzwiller est en fait exacte : c'est le flot géodésique sur une surface compacte à courbure négative constante^[2] . Une telle surface X peut se représenter comme l'espace quotient du demi-plan de Poincaré par un sous-groupe discret Γ du groupe des isométries :

Cette formule exacte a été établie en 1956 par le mathématicien Selberg (indépendamment de la physique et des intégrales de chemin), et est aujourd'hui appelée formule des traces de Selberg en son honneur.

[modifier] Propriétés statistiques du spectre d'énergie

Les propriétés statistiques du spectre d'énergie d'un système physique classiquement chaotique sont très différentes de celle d'un système intégrable. Oriol Bohigas, Marie-Joya Giannoni et Charles Schmidt (Institut de Physique Nucléaire, Orsay) ont conjecturé que les propriétés des fluctuations statistiques du spectre d'énergie d'un système physique classiquement chaotique sont universelles (une fois normalisées), et bien décrites par un ensemble de matrices aléatoires qui ne dépend que des symétries du système.

[modifier] Cicatrices (scars)

[modifier] Articles liés

• Théorie du chaos
• Matrices aléatoires
• Fonction zeta de Riemann
• Géométrie hyperbolique
• Demi-plan de Poincaré
• Formule des traces de Selberg
• Formule des traces de Gutzwiller

[modifier] Bibliographie

[modifier] Généralités

• Martin C. Gutzwiller ; Quantum Chaos, Scientific American (January 1992).

• Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, proceeedings de l'École d'Eté de Physique Théorique des Houches, Session 52 (1989), North-Holland (1991), ISBN 044489277X.

• Martin C. Gutzwiller ; Chaos in classical & quantum mechanics, Interdisciplinary Applied Mathematics 1, Springer-Verlag (1990), ISBN 0-387-97173-4.

• Michael V. Berry ; Quantum chaology (The Bakerian Lecture), Proceedings of the Royal Society A 413 (1987) 183-198. Texte complet disponible au format pdf.

• Michael V. Berry ; Quantum chaology, not quantum chaos, Physica Scripta 40 (1989) 335-336. Texte complet disponible au format pdf.

• Michael V. Berry ; Chaology ; the emerging science of unpredictability, Proceedings of the Royal Institution of Gt Britain, 61 (1990) 189-204. Texte complet disponible au format pdf.

[modifier] Formule des traces de Gutzwiller

• Martin Lubcke ; Gutzwiller Trace Formula and Applications (Juin 2001). Texte au format pdf.

[modifier] Optique atomique

• Farhan Saif ; Classical and Quantum Chaos in Atom Optics, Physics Reports 419 (2005) 207 et Physics Reports 425 (2006) 369. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0604066.

[modifier] Notes & références