Irrationale tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik .
Elementære talmængder
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$
Naturlige tal	$\mathbb{N}$ = { 1,2,3,...}
Heltal	$\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal	$\mathbb{Q}$ = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal	$\mathbb{R}$ = $\{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}$
Komplekse tal	$\mathbb{C}$ = $\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$
Andre elementære talmængder
Primtal	$\mathbb{P}$ = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal	$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal	$\mathbb{T}\mathrm{r}$
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal	R^1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner	$\mathbb{H}$ = { a+bi+cj+dk \| a,b,c,d ∈ R }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal	{} størrelse, position {n}
Kardinaltal	{ $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig ∞
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Irrationale tal (kaldes også Irrationelle tal) er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

De klassiske eksempler er tallet π = 3,141.592.6... og kvadratroden af 2 = $\sqrt 2$ .

Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter — de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.

[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 2

Der eksisterer ikke umiddelbart en metode til bestemmelse af, om et givent tal er rationalt eller ej. Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal $r$ , så $r 2 = 2$ ; dvs. at der findes tal $m$ og $n \in \mathbb{N}$ så $r = m / n$ (vi kan uden tab af almindelighed antage, at $r > 0$ , da $( - r) 2 = r 2$ . Herom kan antages, at brøken $m / n$ er uforkortelig. Det fås altså at: $2 = r^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}$ , hvilket vil sige at $m 2 = 2 n 2$ . Herom kan siges at $m 2$ nødvendigvis må være lige, hvilket betyder, at der findes et helt tal $m'$ så $m = 2 m'$ . Indsat i ovenstående ligning fås at $(2 m') 2 = 2 n 2$ , altså $4 m' 2 = 2 n 2$ og forkortet $2 m' 2 = n 2$ . På samme måde som før ses, at $n$ også må være lige. Da både $m$ og $n$ er lige, er brøken $m / n$ nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.