Imaginære tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik .
Elementære talmængder
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$
Naturlige tal	$\mathbb{N}$ = { 1,2,3,...}
Heltal	$\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal	$\mathbb{Q}$ = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal	$\mathbb{R}$ = $\{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}$
Komplekse tal	$\mathbb{C}$ = $\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$
Andre elementære talmængder
Primtal	$\mathbb{P}$ = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal	$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal	$\mathbb{T}\mathrm{r}$
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal	R^1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner	$\mathbb{H}$ = { a+bi+cj+dk \| a,b,c,d ∈ R }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal	{} størrelse, position {n}
Kardinaltal	{ $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig ∞
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Et imaginært tal er et komplekst tal, hvis kvadrat er negativt eller 0. Navnet stammer fra René Descartes (1637 La Géométrie).

[redigér] Definition

Ethvert komplekst tal kan skrives som $a + i b$ , hvor $a$ og $b$ er reelle tal, og $i$ er den imaginære enhed, et tal der opfylder

$i^2 = -1\,$

Hvis et komplekst tal har $a = 0$ , siges det at være imaginært, eller (mere præcist) rent imaginært.

Tallet a er den reelle del af det komplekse tal, og ib er den imaginære del. Descartes brugte oprindeligt udtrykket "imaginære tal" om de tal, der i dag kaldes "komplekse tal". Det nutidige udtryk "imaginært tal" betyder specifikt et komplekst tal, hvor den reelle del er 0, dvs. et tal af formen ib. Bemærk, at 0 teknisk set betragtes som en rent imaginært tal. 0 er rent imaginært, samtidigt med at det er reelt. Det er det eneste tal med denne egenskab.

En lidt anderledes sprogbrug (tættere på Descartes' oprindelige) er at kalde et tal a+ib for imaginært hvis blot $b\ne 0$ . For at undgå forveksling kan man dog med fordel kalde sådanne tal for irreelle tal.