Plan (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Et matematisk plan er det fundamentale todimensionelle objekt. Det kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan et plan. På et givent plan kan introduceres et koordinatsystem, der gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planet.

Et plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:

Tre punkter, som ikke ligger på linje.
En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
En vektor, der står vinkelret på planet, og kaldes for planets normalvektor.
To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kollineære.

Selve planet er repræsenteret ved planets ligning, som er:

$A x + B y + C z + D = 0$

hvor planet er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne (A, B, C), og har afstanden D fra origo i vektorrummets koordinatsystem. Hvis man ikke kender normalvektoren, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige vektorer i planet, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planet.

For at finde D er man yderlige nødt til at kende et punkt (x, y, z) i planet. Da er:

$D = - A x - B y - C z$

[redigér] Et punkts afstand til planet

Afstanden d fra et vilkårligt punkt (x, y, z) i vektorrummet til planet, kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i denne ligning:

$d = \frac{Ax + By + Cz + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

hvor A, B, C og D er koefficienterne til planets ligning. Hvis punktet ligger i planet, er d = 0. Hvis d > 0 ligger punktet på samme side som normalvektoren, og hvis d < 0 ligger det på den modsatte side.