伯努利数

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數學上，伯努利數B_n的第一次發現是與下述數列和的公式有關：

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n$

其中n為固定的任意正整數。

這數列和的公式必定是變數為m，次數為n+1的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}$ 。

舉例說，把n取為1，我們有0 + 1 + 2 + ... + (m−1) = 1/2 (B₀ m² + 2 B₁ m¹) = 1/2 (m² − m)。

伯努利數最先由雅各·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數可以由下列遞推公式計算：

$\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0$ ，

初值條件為B₀ = 1。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(e^x − 1)，使得對所有絕對值小於2π的x（冪指數的收斂半徑），有

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}$ 。

有時會寫成小寫b_n，以便與貝爾數分別開。

最初幾項伯努利數記於下（於OEIS內的數列A027641和A027642）：

n	B_n
0	1
1	−1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6

可以證明對所有不是1的奇數n有B_n = 0。

乍看起來突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉─麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的艾達拜倫的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的演算式。

[编辑] 一些等式

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}$ 。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是B_n/n。

[编辑] 伯努利數的算術性質

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為B_n = − nζ(1 − n)，也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾(Kummer)研究費馬最後定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理(Herbrand-Ribet)描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)給出。伯努利數還和代數K理論有關：若c_n是B_n/2n的分子，那樣 $K_{4n-2}(\Bbb{Z})$ 的階是−c_2n若n為偶數；2c_2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理(von Staudt-Clausen)。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到B_n上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數B_n的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pB_p−1模p同餘於−1。

[编辑] p進連續性

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n 是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及 $m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1)$ ，那麼

$(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b$ 。

因為 $B n = - n ζ(1 - n)$ ，這也可以寫成

$(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,$ ，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉 $1 - p z$ 後，對適合模p − 1同餘於某個 $a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1$ 的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數 $\Bbb{Z}_p\,$ ，得出p進ζ函數。

[编辑] 伯努利數的幾何性質

在 $n \ge 2$ 時給出可平行流形邊界的怪(4n−1)球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式(Kervaire-Milnor)，用到了伯努利數。若B是B_4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是 $2 2 n - 2 (1 - 2 2 n - 1) B$ 。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）