Numeri di Bernoulli

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In matematica, i numeri di Bernoulli $\,B_n\,$ costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto ad essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione.

Purtroppo la notazione $\,B_n\,$ viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bell; per distinguerli da questi ultimi talora per i numeri di Bernoulli si usano le notazioni $\,b_n\,$ .

Un segnale della versatilità dei numeri di Bernoulli proviene dal fatto che possono essere definiti in molti modi diversi. Essi furono inizialmente individuati e studiati nel 1731 da Jakob Bernoulli il quale li tratta nella sua opera Ars Conjectandi in relazione con le forme chiuse per le somme di potenze di interi successivi

$\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m$

per valori interi positivi fissati di m.

Queste forme chiuse erano state individuate già nel 1631 da Johann Faulhaber cui Bernoulli fa riferimento. Dopo la sua morte nel 1721 Abraham de Moivre diede ai numeri $\,B_n\,$ il nome con il quale sono tuttora conosciuti.

Le precedenti somme sono esprimibili per ogni n come polinomi in m di grado n+1. Lo schieramento bidimensionale dei coefficienti di tali polinomi è esprimibile mediante lo schieramento monodimensionale dei numeri di Bernoulli come segue:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}~.$

Per esempio consideriamo n = 1: abbiamo

$0 + 1 + 2 + ... + (m-1) \,=\, 1/2 (B_0 m^2 + 2 B_1 m^1) \,=\, 1/2 (m^2 - m)$ .

I numeri di Bernoulli possono essere calcolati usando la seguente formula di ricorrenza:

$\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0 \quad {\rm con~la~condizione~iniziale}~~B_0= 1~.$

I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando una funzione generatrice esponenziale con la formula

$\frac{x}{e^x-1} =: \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}$

Questa può considerarsi una uguaglianza fra serie formali di potenze o fra funzioni analitiche; in questo caso per la convergenza della serie si chiede che x abbia valore assoluto minore di 2π (il raggio di convergenza della serie stessa).

Si può dimostrare che B_n = 0 per tutti gli n dispari maggiori di 1.

I numeratori e i denominatori dei numeri di Bernoulli costituiscono le sequenze A027641 e A027642 dell'archivio OEIS di Neil Sloane.

I primi numeri sono i seguenti.

n	B_n
0	1
1	−1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6

La differenza tra il valore particolare B₁₂ = −691/2730 e le altre semplici frazioni che danno i numeri vicini inducono ad escludere la possibilità di una semplice forma chiusa per i numeri di Bernoulli.

I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula di Euler-Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della funzione zeta di Riemann.

Nella nota G delle Note di Ada Byron sull'analytical engine del 1842 è stato descritto per la prima volta un algoritmo per la costruzione dei numeri di Bernoulli con una macchina in grado di eseguire calcoli automatici.