Числа Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел $B 0, B 1, B 2,...$ найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

$\sum_{n=1}^N n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1+s}$

Содержание

1 Значения первых чисел Бернулли
2 Формула для чисел Бернулли
3 Свойства
4 Литература

[править] Значения первых чисел Бернулли

n	B_n
0	$1$
1	$\frac12$
2	$\frac16$
3	$0$
4	$-\frac1{30}$
5	$0$
6	$\frac1{42}$
7	$0$
8	$-\frac1{30}$
9	$0$
10	$\frac5{66}$
11	$0$
12	$-\frac{691}{2730}$
13	$0$
14	$\frac76$
15	$0$
16	$-7\frac{47}{510}$

[править] Формула для чисел Бернулли

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула: $B_n=\frac1{n+1}\sum_{k=2}^{n+1}(-1)^kC_{n+1}^kB_{n+1-k}$ , $n\ge1$

[править] Свойства

Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме $B 1$ , равны нулю, знаки $B 2 n$ чередуются.
Числа Бернулли являются значениями при $x = 0$ многочленов Бернулли: $B n = B n (0)$ .

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$ ,

$x\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$ ,
$\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$ .
Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана $ζ(s)$ при четных $s = 2 m$ :