Бесконачност

Из пројекта Википедија

Знак за бесконачност

Бесконачност ( $\infty$ ) је појам који се користи у математици, филозофији, теологији и свакодневном животу. У математици је то количина која није коначна. Овај појам није искуствен, јер га није могуће видети, опипати или на било који чулни начин спознати. Међутим, ако неке ствари немају своју границу (ни чулно, ни мисаоно) онда је недостатак чулне спознаје такво ограничења које је могуће надокнадити мисаоним методама.

Математика се бави величинама и користи се симболима. Стога је у математици бесконачност повезана са величинама (и има свој симбол). У математици постоји бесконачно велика величина, али такође и бесконачно мала величина (што је скоро исто што и нула). У природи бесконачност није реална претпоставка. Чак и када се говори о васиони, говори се о димензијама односно о некаквим границама. Када се говори о суперпроводности, није у питању бесконачно мала отпорност већ толико мала да није мерљива (али ипак постоји и може се исписати бројкама). Када се говори о бесконачности времена, употребљава се израз вечност.

Бесконачност је један од "тежих" појмова философије, али у математици исти појам и није тако спекулативан. Нешто што је бесконачно у математици би требало бити у релацији поретка, не сме бити коначно и не сме бити контрадикторно. И то је све. Коначни су природни, цели, рационални и ирационални број, дакле сваки реалан број је коначан, а за комплексне не важи релација поретка и ту негде завршава спекулација.

Постоје две врсте бесконачности у математици данас: потенцијална и актуална. Потенцијалну бесконачност су увели у математику Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц када су открили инфинитезимални рачун, а актуалну бесконачност су открили Георг Кантор и Јулијус Вилхелм Ричард Дедекинд са открићем теорије скупова.

[уреди] Потенцијална бесконачност

Исак Њутн је у XVII веку открио да можемо рачунати на низ величина које постају веће од сваког унапред датог броја, и да при томе не упаднемо у контрадикције; своје откриће је назвао рачун флуксија. Негде у исто време, слично откриће имао је и Готфрид Лајбниц. Обојица су приметили да се тачки О на Х-оси можемо приближавати са десне стране, узимајући редом бројеве: 0,1 затим 0,01 па 0,001 итд. бесконачан низ корака, све мањих бројева, а да за неко коначно време, тј. за неки коначан број корака не можемо достићи тачну вредност нула. То је област тзв. инфинитезималног рачуна, на енглеском калкулус.

[уреди] Актуелна бесконачност

Актуелна бесконачност је у математику ушла са Г. Кантором и Дедекиндом крајем XIX и почетком XX века. Оснивачи теорије скупова су приметили да пребројавати нешто значи успоставити функцију тзв. бијекцију - обострано једнозначно пресликавање, између скупа природних бројева и предмета које бројимо. Када бројимо лоптице у некој кутији, одвојимо прву и кажемо један, затим одвојимо другу и кажемо два, одвојимо трећу - три, итд. док не извадимо последњу лоптицу из кутије. Последњи изговорени број је број лоптица у кутији, јер смо направили релацију где са тачно једним од бројева иде тачно једна од лоптица из кутије. Оснивачи теорије скупова су отишли и даље и упоредили су по величини неке познате скупове. Међусобно су упоредили величине скупова природних, целих, рационалних и ирационалних бројева. Број елемената скупа назвали су кардинални број тог скупа.

[уреди] Пребројавање

У време када је откривено пребројавање већ је била веома развијена математичка анализа, Њутн-Лајбницов рачун, и знало се да не постоји највећи природни број (најмањи је број 1).

Први од наведених, скуп природних бројева {1, 2, 3, ...}, означили су са $\mathbb{N}\,$ и доделили му кардинални број алеф нула $\aleph_o.\,$ Приметимо да све што се може бројати редом: први, други, трећи, ... у бескрај, на начин да се у један такав низ могу ставити сви његови елементи, може прогласити скупом са кардиналним бројем алеф нула. За сваки такав скуп кажемо да је пребројив скуп.
Пребројив скуп је скуп целих бројева $\mathbb{Z},\,$ јер га целог можемо поредати у један низ, у којем нема понављања: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, ... . Приметимо да се овај скуп пребројава спорије, али да то није битно јер природних бројева има довољно. Кардинални број скупа целих бројева је такође алеф нула, тј. $kard(\mathbb{Z})=\aleph_o.$
Пребројив је и скуп рационалних бројева, тј. скуп разломака m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\}." />
Није пребројив скуп ирационалних бројева $\mathbb{I}.$

Према томе није пребројив нити скуп реалних бројева $\mathbb{R},$ јер је он унија рационалних и ирационалних, који немају међусобно једнаких елемената. Други закључак, оснивачи теорије скупова су нашли најмање две актуалне бесконачности, прву су назвали алеф нула, а друга је континуум.

[уреди] Теореме

Теорема 1: Унија пребројиво много пребројивих скупова је пребројива.

Пребројавање пребројивих скупова

Доказ: Елементе пребројивих скупова можемо редати у низове. Елементе првог скупа означимо са $X 11, X 12, X 13,...,$ другог скупа са $X 21, X 22, X 23,...,$ трећег са $X 31, X 32, X 33,....$ Сложимо ове низове у матрицу, као на слици десно, и кренимо их пребројавати по споредним дијагоналама. У првој дијагонали, горе лево, имамо само један елеменат $X 11,$ у другој их имамо два $X 21, X 22,$ итд. у n-тој дијагонали имаћемо тачно n = 1, 2, 3, ... елемената. У свакој од ових дијагонала збир индекса Х-ова биће тачно n+1. Према томе, ако је унапред дат произвољан елеменат, било којег од ових скупова, нпр. $X k j$ , пре свега он се налази у унији, и са друге стране, налази се у n=k+j+1-тој дијагонали, тј. у току пребројавања доћи ће на ред након коначно много корака. Према томе, унија датих скупова је пребројива. Крај доказа.

Посебно, можемо лако израчунати редни број елемента $X k j$ из пребројавања са слике. Рбр. је

(број свих елемената у претходним дијагоналама) + (бр. елемената у последњој дијагонали) =

(1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j = $\frac{(k+j)(k+j+1)}{2} + j.$

Последица ове теореме је пребројивост скупа рационалних бројева. Поредамо разломке у редове матрице. Са лева у десно, одозго на доле, стоје редови: $\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, ...$ , затим $\frac{2}{1}, \frac{2}{1}, \frac{2}{1}, ...$ , и тако даље. Овај скуп елемената је пребројив. Затим додаму нулу, и за сваког од ових разломака додамо по још један разломак исте апсолутне вредности али супротног знака. Елементи тако увећаног скупа се такође могу опет поредати, наизменично плус минус, у сличну матрицу. У току тог пребројавања, прескачемо елеменат, разломак чија се вредност понови.

Теорема 2: Скуп реалних бројева из интервала (0,1) није пребројив.

Број је у овом интервалу, ако је већи од нуле и мањи од један.

Доказ

Доказ ћемо извести свођењем на контрадикцију (тзв. Канторов дијагонални поступак). Претпоставимо да је могуће све бројеве из (0,1) поредати у низ, и означимо тај низ са

(a n)

, tj.

a 1, a 2, a 3,....

Како се сваки реалан број може написати у облику децималног броја (бесконачног децималног разломка), који може завршавати и бесконачним бројем нула, то је низ:

a 1 = 0, a 11 a 12 a 13 ... a 1 n ...

a 2 = 0, a 21 a 22 a 23 ... a 2 n ...

a 3 = 0, a 31 a 32 a 33 ... a 3 n ...

. . . . . .

a m = 0, a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n ...

. . . . . .

где је

a k j

једна од цифара 0, 1, 2, ..., 9. Формирајмо сада реалан број

b = 0, b 1 b 2 b 3 ... b n ...,

где су децималне цифре

b n

такође цели бројеви од 0 до 9, и који је очигледно из истог интервала (0,1). По претпоставци, ма како му бирали цифре, овај број би сваки пут морао бити један од бројева из низа

(a n)

. Међутим, бираћемо цифре броја

b

тако да је

b n = 1,

ако је

a n n = 0

b n = 0,

ако $a_{nn} \ne 0.$ Погледајмо шта смо добили. Добили смо број b који није једнак нити једном броју низа a, јер се од сваког (нпр. к-тог у низу) разликује бар у једној цифри (к-тој). То је контрадикција са претпоставком да су у датом низу сви реални бројеви интервала (0,1). Крај доказа.

Кардинални број скупа реалних бројева назива се континуум и означава са с и $\aleph_0<c$ . Претпоставка да између алеф нула и континуума нема других кардиналних бројева позната је као хипотеза континуума. Након Кантора, било је покушаја да се она докаже, или оспори, али без успеха, све до Гедела (Gödel) и Кохена (Cohen), који су доказали да је она независна од претходне теорије скупова, те да се она може прихватити као аксиома, или једнако одбацити. Ако прихватимо хипотезу континуума, онда уместо с можемо користити ознаку алеф један, тј. $\aleph_1.$

[уреди] Примери

Рекли смо да су два скупа еквивалентна ако се између њих може успоставити бијекција, биунивока кореспондецнија, односно обострано једнозначно пресликавање. Ако су скупови еквивалентни онда имају исти кардинални број, тј. број елемената. Ако скуп има једнако елемената као скуп природних бројева, онда за тај скуп кажемо да је пребројив и да му је кардинални број алеф нула, тј. $\aleph_0$ .

Пример 1: Скуп природних бројева еквивалентан је скупу парних бројева.

Јер низ 2, 4, 6, ..., 2n, ... можемо пресликати на низ 1, 2, 3, ..., n, ... бијективно.

Пример 2: Сваки део пребројивог скупа је коначан или пребројив.
Објашњење: Нека је A пребројив скуп. Чланови скупа А могу се поредати у низ $A 1, A 2, A 3,...$ . Нека је $B \subseteq A$ и нека су $b 1, b 2,...$ они елементи низа А који су уједно елементи низа B. Ако међу овима не постоји највећи елеменат скуп B је коначан, у супротном он је пребројив.
Пример 3: (а) Скуп тачака у равни $(\mathbb{Q}^2=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})$ чије су координате рационални бројеви је пребројив;; (б) Скуп тачака у к-димензионалном простору $(\mathbb{Q}^k)$ је пребројив.
Пример 4: Сваки бесконачан скуп садржи један пребројив подскуп.
Објашњење: Нека је А бесконачан скуп и нека је његов елеменат $a_1 \in A.$ Тада, јер је А бесконачан, постоји пребројив низ елемената $a_2 \ne a_1; a_3 \ne a_1,a_2; ... .$

Међутим, међу бесконачним бројевима, кардиналима, поредак није нешто што се подразумева по себи.

Пример 5: (Кантор-Бернштајнова теорема) Ако је скуп А еквивалентан једном делу скупа B, и ако је обратно, скуп B еквивалентан једном делу скупа А, тада су скупови А и B еквивалентни.