Nieskończoność

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Nieskończoność to byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości). Przyjęło się oznaczać ją symbolem $\infty$ , podobnym do przewróconej ósemki.

Spis treści

1 Nieskończoność w świecie fizycznym
2 Nieskończoność w świecie idei
3 Nieskończoność w świecie werbalnym
4 Nieskończoność w matematyce
5 Zobacz też

[edytuj] Nieskończoność w świecie fizycznym

Jednym z podstawowych pytań związanych z nieskończonością jest to, czy nasz Wszechświat jest nieskończony. Nie jest też wykluczone istnienie wielu wszechświatów podobnych naszemu, i/lub całkiem nie podobnych, w tym: nieskończenie wielu.

Osobną kwestią jest istnienie nieskończoności w mikroskali. Nasuwa się tu pytanie, czy materię można dzielić w nieskończoność na coraz drobniejsze części. Odpowiedź na to pytanie również nie jest znana, chociaż fizycy skłaniają się ku negatywnej odpowiedzi (patrz teoria strun).

[edytuj] Nieskończoność w świecie idei

Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Badania pojęcia nieskończoności ograniczano jedynie do przypadku tak zwanej nieskończoności potencjalnej. W tym sensie mówimy o nieskończonym zbiorze jako o zbiorze, który zawiera w sobie dowolnie duże skończone podzbiory. Z takim rozumieniem nieskończoności mamy do czynienia na przykład w analizie matematycznej, kiedy mówimy o granicy. Mówiąc, że ciąg a(n) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że wyrazy a(n) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i dualnie: nieustającą możliwość pomniejszania).

Proklos Diadochus w V wieku naszej ery wyrażał to w taki sposób:

wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że aktualnie byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko potencjalnie; to ostatnie daje nieskończoności istnienie substancjalne, tamto przyznaje jej tylko stawanie się.

Jednak nie tylko starożytni czuli się niepewnie obcując z pojęciem nieskończoności. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał:

nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej.

[edytuj] Nieskończoność w świecie werbalnym

Nieskończoność jako Abstrakcja
Nieskończoność jako Anomalia
Nieskończoność jako Błąd Programisty
Nieskończoność jako Continuum
Nieskończoność jako Granica
Nieskończoność jako Ideał
Nieskończoność jako Koniec Nadziei
Nieskończoność jako Kumulacja Odsetek
Nieskończoność jako Osobliwość
Nieskończoność jako Piekło
Nieskończoność jako Postulat
Nieskończoność jako Problem
Nieskończoność jako Przejaw Boskości
Nieskończoność jako Przeciwieństwo Zera
Nieskończoność jako Przetężenie
Nieskończoność jako Rozbieżność
Nieskończoność jako Skutek Dzielenia Przez Zero
Nieskończoność jako Zagadka
Nieskończoność jako Zapętlenie
Nieskończoność jako Zjawisko Cykliczne

[edytuj] Nieskończoność w matematyce

A jednak - w XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor poważnie potraktował ideę aktualnej nieskończoności, a więc nieskończoności istniejącej jako samodzielny i konkretny byt. W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. W istocie Cantora skłoniło do tych rozważań właśnie odkrycie, że przy pewnej definicji liczby elementów jedne zbiory nieskończone są liczniejsze niż inne (patrz rozumowanie przekątniowe).

Nieskończoności w tym rozumieniu nie tylko istnieją, ale też różnią się od siebie ilością elementów. Istnieje właściwie nieskończenie wiele nieskończoności. Ściślej mówiąc, rozważać można nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię liczb kardynalnych. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:

$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ... < \aleph_k < ...$

Liczby kardynalne można nie tylko porównywać, ale także przeprowadzać na nich operacje: dodawania, mnożenia czy potęgowania. Zaawansowana teoria potęgowania liczb kardynalnych (teoria PCF - possible cofinalities) została stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha.

Z początku wielu matematyków bardzo nieufnie podchodziło do rozważań Cantora i jego stosunku do nieskończoności aktualnej, uważając, że są one zbyt oddalone od intuicji. Okazało się jednak, że dzięki rozwojowi teorii mnogości, a w szczególności teorii mocy zbiorów nieskończonych, nastąpił gwałtowny rozwój podstaw matematyki. Z jednej strony dlatego, że Cantor uporządkował chaos definicyjny zastępując nieścisłe pojęcia wielkości i liczby pojęciami zbioru i mocy. Z drugiej strony, systematyczne i ścisłe badanie nieskończoności aktualnych szybko doprowadziło do problemów takich jak hipoteza continuum, które wymagały zrewidowania całego aparatu logiki matematycznej. Z kolei opozycjoniści zgłaszali zastrzeżenia do teorii mnogości wskazując na rozmaite paradoksy, związane zwłaszcza z koncepcją nieskończoności rozwijaną na jej gruncie. Doprowadziło to do rozwinięcia takich prądów jak konstruktywizm czy finityzm, których celem była przebudowa podstaw matematyki w sposób usuwający pojęcie nieskończoności aktualnej i przeformułowanie wszystkich twierdzeń w celu likwidacji paradoksów.