Кардинални број

Из пројекта Википедија

Кардинални број коначног скупа је број елемената скупа. У случају бесконачних скупова кардинални број се може дефинисати као врста бесконачног скупа у који се дати скуп може пресликати са бијекцијом.

Врсте бесконачних скупова су такође познате као степени бесконачности од којих постоје два који су од посебног интереса

$\aleph_0$ (алеф нула) - степен бесконачности скупа природних бројева
$c\,$ - или континуум, степен бесконачности скупа реалних бројева

Скупови са кардиналним бројем $\aleph_0$ се такође зову пребројивим скуповима. Интуитивно, елементи пребројивог скупа $S\,$ се могу поређати помоћу бијекције на скуп природних бројева, тј. $S = \lbrace a_1,a_2,a_3, ... \rbrace \,$ .

Теорија бројева и концепт бесконачности садрже доста резултата који се противе интуицији и делују изненађујуће за лаике нпр. скуп парних бројева $P\,$ је пребројив тј има "исти" број елемената као скуп свих природних бројева $N\,$ . Овај резултат лаички делује изненађујуће пошто на први поглед изгледа да постоји двоструко више природних бројева него парних, али се може једноставно доказати преко бијекције $f: n \mapsto 2n$ којом се парни бројеви могу поређати у $\lbrace 2,4,6, ...\rbrace \,$ .

Георг Кантор је формулисао хипотезу континуума која тврди да не постоји кардинални број између $\aleph_0$ и континуума, тј. $\aleph_1 = c$ .

За дати скуп $S\,$ можемо дефинисати кардинални број скупа свих подскупова $S\,$ као $2^S\,$ . Кардинални бројеви $\aleph_0$ и $\aleph_1$ су повезани преко једначине $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ . Генерализована хипотеза континуума тврди $\aleph_{n+1} = 2^{\aleph_n}$ .