Функција

Из пројекта Википедија

Функција је, уопште, правило придруживања једног елемента из скупа Х (домен функције) другом из скупа У (кодомен функције). За записивање функција користимо ознаке као што је $f:X\rightarrow Y,$ или $y = f (x),$ а природу скупова који учествују описујемо фразама каква је на пример: функција реалне променљиве. Опсег, распон или подручје дефиниције функције f је скуп вредности, f(x), за x из домена f.

[уреди] Дефиниције

Функција је један од основних појмова математике. Посебно погледајте: Аналитичка функција, График функције, Непрекидна функција, Тригонометријске функције, Хиперболичке функције. Дефиниција функције као променљиве величине је несавршена јер се при томе користи нестроги појам променљиве величине и зато се обично користи савременији приступ овом проблему преко теорије скупова.

[уреди] Аналитичка дефиниција

Ако две променљиве количине стоје у таквој вези да се мењањем вредности једне количине мења вредност и друге, онда је друга функција прве.

Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.

Функција може имати више променљивих.

[уреди] Дефиниције из теорије скупова

Сл.1. Функција

Скуп се у математици узима за основни појам. Декартов производ скупова је скуп уређених парова. Уређени пар елемената чине било каква два елемента код којих се, из било којих разлога, зна који од њих је први, а који други. Затим, релација (математика) је непразан подскуп Декартовог производа скупова, и коначно, функција је једна врста релације, слика десно. На слици десно, пре свега, дата је релација $f=\{(a,\alpha),(b,\beta),(c,\beta)\}.\,$ Зашто такву релацију називамо и функција?

Дефиниција: Нека су A и B непразни скупови. Тада се бинарна релација $f\subseteq A\times B$ зове функција или пресликавање из A у B, ако важи $(\forall x\in A)(\exists!y\in B)y=f(x).$

Последњи израз је формула написана помоћу квантора сваки (обрнуто слово А) и постоји тачно један (обрнуто Е са узвичником) која се чита: "за свако икс из А постоји тачно једно ипсилон из Бе такво да је y=f(x)". То значи да на графу, десно, из сваког од елемената скупа $A = {a, b, c}$ полази по тачно једна стрелица, која представља (по тачно један) уређени пар (за свако од слова $a, b, c .$ ) Другим речима, функција је таква врста релације где је сваки елеменат једног од скупова тачно по једном први.

Друга, еквивалентна дефиниција: бинарна релација f из А у B је функција ако је

$((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z)).$

Ова дефиниција поставља исти критеријум: ако су оригинали једнаки (х=х) тада су и копије једнаке (y=z). Дакле, не може исти оригинал произвести различите копије!

Елементи скупа А називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп А је скуп првих елемената уређених парова, на графу то је полазни скуп стрелице, назива се домен, подручје вредности (ранг), итд. функције f. Скуп B назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције f означава са $\mathcal{D}(f)$ , а кодомен понекад $\mathcal{K}(f).$ На наведеном графу је $\mathcal{D}(f)=A,\; \mathcal{K}(f)=B$ и f је функција са А у B, што пишемо $f:A\rightarrow B,$ или $f:x\rightarrow y,\; x\in A,\; y\in B.$ Често уместо у стављамо f(x), pa je $y=f(x),\; x\in A,\; y\in B.$

Дефиниција: Функција $f:A\rightarrow B$ зове се сурјекција, или "на"-пресликавање, ако је $\mathcal{K}(f)=B.$

Помоћу квантора ту исту дефиницију пишемо: $(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).$ Једноставније речено, функција је сурјекција ако и само ако су сви елементи десног скупа (B) нечије слике. На горњем графу ка елементу γ не иде нити једна стрелица. Према томе, дата функција није сурјекција. Сурјекција по дефиницији дозвољава „дупле копије“.

Дефиниција: Функција $f:A\rightarrow B$ зове се инјекција, или "1-1"-пресликавање, ако важи $(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2).$

То је дефиниција по форми обрнута оној другој дефиницији функције: иста копија не може бити резултат копирања различитих оригинала. На датом графу, елеменат β је копија два оригинала и према томе дата функција f није инјекција. Инјекција по дефиницији дозвољава да у скупу копија постоје елементи који уопште нису резултат пресликавања.

Дефиниција: Функција која је сурјекција и инјекција зове се бијекција.

Бијекцију називамо и обострано једнозначно пресликавање.

[уреди] Тешкоће прве теорије скупова

Бијекција је одиграла важну улогу у разматрању појма бесконачности и њему сродних појмова. Ако постоје два скупа и макар једна функцију међу њима која је бијекција онда та два скупа имају исти број елемената. То значи да ако за два бесконачна скупа, рецимо бројева, пронађемо бар једно бијективно пресликавање међу њима, тада кажемо да они имају једнако много елемената. То је једна од основних идеја оснивача теорије скупова Кантора и Дедекинда.

Почетну идеју скупова је убрзо, почетком 20. века, уздрмао британски математичар и филозоф, Бертранд Расел, нашавши неколико недоследности у Канторовој теорији. Данас се те недоследности обично називају парадоксима теорије скупова. Расел је указао на парадокс празног скупа, који је разрешен захтевом да је празан скуп подскуп сваког скупа. Његов други парадокс је парадокс скупа свих скупова. Идеја скупа свих скупова је контрадикторна, тако да данашња теорија скупова, једноставно, не захтева постојање свеобухватног, "универзалног скупа".