Матрица (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

[править] Операции над матрицами

Умножение матрицы на число $λ$ заключается в построении матрицы $b i j$ , элементы которой равны произведениям соответствующих элементов исходной матрицы $a i j$ на это число

b i j = λ a i j

Сложение матриц $a i j$ и $b i j$ заключается в нахождении третьей матрицы $c i j$ , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

c i j = a i j + b i j

Вычитание матриц определяется аналогично

c i j = a i j - b i j

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица $O$ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + O = A

Ясно, что все элементы нулевой матрицы должны быть равны нулю.

Умножение матриц определяется сложнее. В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Элементы результирующей матрицы получаются как суммы произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго

c_ik =	∑	a_ijb_jk
	j

Умножение матриц не коммутативно. Это видно хотя бы из того, что если матрицы не квадратные, то можно умножать только одну на другую, но не наоборот. Если матрицы квадратные, то результат просто меняется в зависимости от порядка сомножителей.

[править] Единичная матрица

Для квадратных матриц существует единичная матрица $I$ такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

I A = A I = A

У единичной матрицы единицы стоят только по диагонали, остальные элементы равны нулю

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица $A - 1$ такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица

A A - 1 = I

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными, а для которых нет — вырожденными. Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется нормированный кососимметрический линейный функционал на строках матрицы. Матрица вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

[править] Свойства матриц

$A + (B + C) = (A + B) + C$
$A + B = B + A$
$A (B C) = (A B) C$
$A (B + C) = A B + A C$
$(B + C) A = B A + C A$
$0 \cdot A = 0$
$1 \cdot A = A$
$A_{k \times l} \cdot B_{l \times n} = C \Rightarrow c_{ij} = \sum_{k = 1}^l a_{ik} b_{kj}$
Симметричная матрица $A$ положительно определена ( $A > 0$ ), если значения у всех ее главных угловых миноров $A k > 0$
Симметричная матрица $A$ отрицательно определена ( $A < 0$ ), если матрица $( - A)$ положительно определена, то есть если для любого $k$ главный минор $k$ -го порядка $A k$ имеет знак $( - 1) k$

[править] Типы матриц

Блочнодиагональная
Верхнетреугольная
Вырожденная
Диагональная
Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Для квадратных матриц существует определитель.
Кососимметрическая
Нормальная
Нижнетреугольная
Ортогональная
Симметричная
Треугольная
Эрмитова
Унитарная

[править] Системы линейных уравнений

Операции над матрицами сделаны такими, что любую систему из $n$ уравнений с $n$ неизвестными

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n$

можно представить в виде матричного уравнения

∑	a_ijx_j = b_i
j

или

$A X = B$

а решение этого уравнение состоит в нахождении обратной матрицы $A - 1$ , поскольку умножив уравнение слева на эту матрицу

$A - 1 A X = A - 1 B$

даёт возможность получить столбец

$X = A - 1 B$ .

[править] Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис $\mathbf{e}_k$ . Пусть $\mathbf{x}$ — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

$\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k$ , где $x k$ — координаты вектора $\mathbf{x}$ в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть $\mathbf{A}$ — произвольный линейный оператор,. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

$\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k$ .

Вектора $\mathbf{Ae}_k$ также разложим в выбранном базисе, получим

$\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j$ , где $a^j_k$ — $j$ -я координата $k$ -го вектора из $\mathbf{Ae}_k$ .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

$\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j$ .

Выражение $a^j_kx^k$ , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица $a^j_k$ при умножении на столбец $x k$ даёт в результате координаты вектора $\mathbf{Ax}$ , возникшего от действия оператора $\mathbf{A}$ на вектор $\mathbf{x}$ , что и требовалось получить.

[править] Обобщения

Тензор — многомерный аналог матриц

[править] История

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Г. Фробениусу (G. Frobenius).