Matrix (wiskunde)

Een matrix (meervoud: matrices) is een rechthoekig getallenschema, dus getallen geordend in rijen en kolommen. De matrix is een middel om samenhangende gegevens en hun bewerkingen op een systematische en overzichtelijke wijze weer te geven.

Als er m rijen zijn en n kolommen spreekt men van een m×n-matrix. De getallen heten de elementen van de matrix. Een m×n-matrix A heeft dus $m \cdot n$ elementen. Het element op het kruispunt van de r-de rij en de k-de kolom wordt aangeduid als het rk-de element en genoteerd als $A r k$ . Voor de matrix zelf noteert men wel: $(A r k)$ . Ook andere notaties worden gebruikt, onder andere waarin het rk-de element van een matrix A geschreven wordt als $a r k$ . Het volgende voorbeeld toont een 2×3-matrix A met gehele getallen:

$A=\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}$

We zien bijvoorbeeld dat $A 12 = - 1$ en $A 23 = 5$ .

Inhoud

1 Voorbeeld
2 Formele definitie
3 Toepassingen
4 Transformaties
- 4.1 Transformatie in 2 dimensies
5 Aanverwante begrippen

[bewerk] Voorbeeld

Een bedrijf levert cement, kalk, gips in zakken van resp. 25, 10 en 5 kg. Het bedrijf heeft 4 klanten: Bik, Mets, Timp en Voeg. De door deze klanten in een bepaald jaar afgenomen aantallen zakken laten zich overzichtelijk in een 4×3-matrix A ordenen:

$A=\begin{bmatrix}14&9&3\\2&11&15\\0&12&17\\5&2&3\end{bmatrix}$

We zien bijvoorbeeld dat $A 32 = 12$ , dus Timp heeft dat jaar 12 zakken kalk afgenomen.

De afgenomen aantallen van het volgende jaar staan in de matrix B.

$B=\begin{bmatrix}17&10&4\\3&7&8\\0&14&15\\4&3&3\end{bmatrix}$

In dit jaar heeft Timp 14 zakken kalk gekocht. Om te bepalen wat voor elke klant de totale afname van elk product is in deze twee jaren, moeten we de matrices elementsgewijs optellen. De zo ontstane matrix heet de som A+B van de beide matrices:

$A+B=\begin{bmatrix}31&19&7\\5&18&23\\0&26&32\\9&5&6\end{bmatrix}$

De prijs van een zak cement is €12, van een zak kalk €9 en van een zak gips €8. In de 3×2-matrix W staan de prijzen en gewichten van de drie producten:

$W=\begin{bmatrix}12&25\\9&10\\8&5\end{bmatrix}$

Om na te gaan wat het totale bedrag is dat Bik in het eerste jaar heeft besteed, moeten we uitrekenen:

$14\times 12 + 9\times 9 + 3\times 8$ ,

waarin we de getallen van de eerste rij van A (Bik) en de eerste kolom van W (prijzen) herkennen.

Het totale gewicht van de door Bik gekochte producten berekenen we op soortgelijke manier:

$14\times 25 + 9\times 10 + 3\times 5$ ,

waarin nu de getallen van de eerste rij van A (Bik) en de tweede kolom van W (gewichten) staan. Ook voor de andere klanten kunnen we zulke berekeningen maken. Samen heten ze matrixvermenigvuldiging en geven ze een matrix die we het product AW van A en W noemen:

$AW=\begin{bmatrix}14&9&3\\2&11&15\\0&12&17\\5&2&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}12&25\\9&10\\8&5\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}273&455\\243&235\\244&205\\102&160\end{bmatrix}$

Zie voor meer informatie over het vermenigvuldigen van twee matrices het artikel matrixvermenigvuldiging.

[bewerk] Formele definitie

Een m×n-matrix A is een element van $(\R^n)^m$ of $(\mathbb{C}^n)^m$ , dus een rij van m rijen van n reële of complexe getallen:

$A = (A_1,\ldots,A_m) = ((a_{11},\ldots ,a_{1n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn}))$ .

De getallen $\, (a_{rk}=(A_r)_k)$ heten de elementen van de matrix A.

Het is gebruikelijk de m componenten van de matrix als een kolom van m rijen te schrijven:

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

[bewerk] Som

Twee matrices van dezelfde afmetingen kunnen bij elkaar opgeteld worden. Dat gebeurt elementsgewijs. De som C van twee m×n-matrices A en B heeft elementen

$\! c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ ,

zodat:

$A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$ .

[bewerk] Product

Een m×p-matrix A en een p×n-matrix B kunnen met elkaar vermengvuldigd worden. Hun product is een m×n-matrix C = AB, met elementen:

$c_{rk}=\sum_{i=1}^p a_{ri}b_{ik}$ .

Ook van een m×n-matrix A en een n-vector x kan het product gevormd worden. Het is de m-vector Ax met componenten:

$(Ax)_r=\sum_{k=1}^n a_{rk}x_k$ .

[bewerk] Rijvector

Een 1×n-matrix A is formeel gedefinieerd als:

$\, A=((a_{11},...,a_{1n}))$ ,

dus met als enige component de vector

$\, A_1=(a_{11},...,a_{1n})$ .

Zo'n matrix, die als een rij getallen genoteerd wordt, lijkt erg veel op een vector en verschilt daar alleen in formele zin van. Men noemt een 1×n-matrix daarom wel een rijvector.

[bewerk] Kolomvector

Een m×1-matrix A is formeel gedefinieerd als:

$\, A=((a_{11}),...,(a_{m1}))$ ,

dus met als r-de component

$\, A_r=(a_{r1})$ .

Zo'n matrix, die als een kolom getallen genoteerd wordt, lijkt erg veel op een vector en verschilt daar alleen in formele zin van. Men noemt een m×1-matrix daarom wel een kolomvector.

Vatten we de n-vector x op als de kolomvector X, met elementen:

$\, X_{r1} = x_r$ ,

dan is het product Ax, opgevat als kolomvector, hetzelfde als het product AX.

[bewerk] Toepassingen

Bepalen van elementen van de Rij van Fibonacci: zie Rij van Fibonacci (berekening).
Het oplossen van een stelsel vergelijkingen door middel van Gauss-eliminatie.

[bewerk] Transformaties

Een matrix wordt veel gebruikt bij berekeningen voor bijvoorbeeld het draaien, schalen en transleren van vormen in 2 of 3 dimensies. De vormen worden getransformeerd. Hierbij bestaat een vorm uit verschillende punten met hun eigen coördinaten. Deze punten, vectoren genoemd, worden in feite getransformeerd, waardoor dus ook de vorm.

[bewerk] Transformatie in 2 dimensies

Bij 2-dimensionale transformaties heeft een vector een x- en een y-coördinaat. De matrix die hiervoor wordt gebruikt is 3 bij 3. De identiteitsmatrix in 2 dimensies ziet er uit als:

$M=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

Wanneer een vector v wordt getransformeerd door middel van deze matrix, is de resulterende vector identiek aan v:

$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\times x+0\times y+0\times 1\\0\times x+1\times y+0\times 1\\0\times x+0\times y+1\times 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

[bewerk] Translatie

Een matrix voor een translatie ziet er als volgt uit:

$M=\begin{bmatrix}1&0&T_x\\0&1&T_y\\0&0&1\end{bmatrix}$

Hierin is T_x de verplaatsing in de x-richting en T_y de verplaatsing in de y-richting. De berekening van de resulterende vector van een translatie is identiek aan de berekening gebruikt bij de identiteitsmatrix:

$\begin{bmatrix}1&0&T_x\\0&1&T_y\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\times x+0\times y+T_x\times 1\\0\times x+1\times y+T_y\times 1\\0\times x+0\times y+1\times 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x+T_x\\y+T_y\\1\end{bmatrix}$

[bewerk] Schaling

Om vectoren te schalen wordt de onderstaande matrix gebruikt, waarin S_x de factor voor de x-richting is en S_y de factor voor de y-richting:

$M=\begin{bmatrix}S_x&0&0\\0&S_y&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

De resulterende vector v' bij schaling van een vector v ziet er als volgt uit:

$v'=\begin{bmatrix}x\times S_x\\y\times S_y\\1\end{bmatrix}$

De x-coördinaat van v wordt dus vermenigvuldigd met S_x en de y-coördinaat met S_y.

[bewerk] Vermenigvuldiging

Matrices kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd. Wanneer een vector met de resulterende matrix wordt vermenigvuldigd, kunnen meerdere transformaties in één keer op de vector worden toegepast.

Stel, een vector v [ x, y, 1 ] moet worden geschaald en vervolgens getransleerd. Hiervoor wordt dan eerst de schaalmatrix vermenigvuldigd met de translatiematrix:

$M=\begin{bmatrix}1&0&T_x\\0&1&T_y\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}S_x&0&0\\0&S_y&0\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}S_x&0&T_x\\0&S_y&T_y\\0&0&1\end{bmatrix}$

Bij deze vermenigvuldiging is de volgorde van de matrices van belang.

Vervolgens wordt het product toegepast op de vector v, een resultaat v' opleverend:

$v'=\begin{bmatrix}S_x&0&T_x\\0&S_y&T_y\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}S_x\times x+0\times y+T_x\times 1\\0\times x+S_y\times y+T_y\times 1\\0\times x+0\times y+1\times 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}S_x\times x+T_x\\S_y\times y+T_y\\1\end{bmatrix}$

[bewerk] Aanverwante begrippen

Categorie: Matrix