Znak liczby

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Znak liczby rzeczywistej
2 Ciało uporządkowane
3 Liczby zespolone
4 Zobacz też

[edytuj] Znak liczby rzeczywistej

Znak liczby - właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem zera. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

dodatni (liczba większa od 0)
zero
ujemny (liczba mniejsza od 0)

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą nie będącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę nie będącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo -, np. -124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

[edytuj] Ciało uporządkowane

Fakt że liczby rzeczywiste mają określony znak wynika z tego że $({\mathbb R},+,\cdot,0,1,\leq)$ jest ciałem uporządkowanym, tzn $({\mathbb R},+,\cdot,0,1)$ jest ciałem a $\leq$ jest porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi w tym sensie że

jeśli $a\leq b$ to $a+c\leq b+c,$
jeśli $0\leq a$ i $0\leq b$ to $0\leq a\cdot b.$

Należy zwrócić uwagę, że z pierwszej własności powyżej wynika iż aby zdefiniować porządek ciała uporządkowanego wystarczy wskazać które elementy tego ciała są dodatnie, czyli większe od 0 (elementu neutralnego dodawania w ciele).

Przez analogię do terminologii stosowanej w liczbach rzeczywistych, dla dowolnego ciała uporządkowanego $(K,+,\cdot,0,1,\leq)$ elementy $a\in K$ które są większe od 0 nazywamy elementami dodatnimi.

[edytuj] Liczby zespolone

Można się zapytać dlaczego nie określamy znaków liczb zespolonych nie będących rzeczywistymi. Powodem tego jest fakt że nie istnieje żaden porządek liniowy $\leq^*$ na ${\mathbb C}$ który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną liczb zespolonych. Rzeczywiście, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest dodatni lub zero, więc też $0 < 1 = 1 2$ oraz $- 1 < 0$ . Teraz zauważmy że $i 2 = - 1$ (gdzie $i$ jest jednostką urojoną).