Variëteit (wiskunde)

In de wiskunde dekt de term variëteit een aantal verschillende begrippen van "gekromde ruimte". Alle definities hebben de volgende filosofie gemeen:

Een variëteit is een topologische ruimte die in voldoende kleine omgevingen van elk punt lijkt op de n-dimensionale Euclidische ruimte, maar die globaal een heel andere structuur kan hebben

Het "lijken op" wordt dan verder gepreciseerd door bijectieve topologische afbeeldingen, kaarten genaamd, waarvan de samenstelling op de overlappingsgebieden van hun domeinen tot een bepaalde klasse moeten behoren. Naargelang de gekozen klasse spreekt men van een topologische variëteit (homeomorfismen), een differentieerbare of gladde variëteit (diffeomorfismen) of een complexe variëteit (complex differentieerbare homeomorfismen). Sommige definities vereisen nog aanvullende structuur, bijvoorbeeld een Riemann-variëteit is een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm.

De Engelse term manifold wordt ook in Nederlandse teksten vaak als synoniem van variëteit gebruikt. Voor een algebraïsche variëteit gebruikt het Engels dan weer liever de term algebraic variety.

Inhoud

1 Topologische variëteit
- 1.1 Formele definitie
- 1.2 Voorbeelden
2 Gladde variëteit
3 Riemann-variëteit
4 Algebraïsche variëteit
5 Riemannoppervlak
6 Complex analytische variëteit

[bewerk] Topologische variëteit

[bewerk] Formele definitie

Zij n een positief natuurlijk getal. Een topologische variëteit van dimensie n is een topologische ruimte die voldoet aan het scheidingsaxioma $T 2$ (Hausdorff) en aan het aftelbaarheidsaxioma $A 2$ , en waarin elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met de Euclidische ruimte $\mathbb{R}^n$

Een kaart op een topologische variëteit $M$ is een homeomorfisme van een open deelverzameling $V$ van $M$ naar $\mathbb{R}^n$

Topologische variëteiten worden bestudeerd in de tak van de wiskunde die algebraïsche topologie heet.

[bewerk] Voorbeelden

Elke open deelverzameling $G$ van $\mathbb{R}^n$ is op triviale wijze een topologische variëteit, want rond elk punt $g\in G$ ligt een open bol binnen $G$ , en $n$ -dimensionale open bollen zijn homeomorf (zelfs diffeomorf) met $\mathbb{R}^n$ .

Een eenvoudige, maar niet triviale variëteit is de $n$ -sfeer, dit is de rand van de $(n + 1)$ -dimensionale bol met middelpunt 0 en straal 1:

$S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1};\|x\|=1\}$

In elk punt $x\in S^n$ bestaat er een uniek $n$ -dimensionaal raakhypervlak. Dit raakhypervlak $H x$ is isometrisch (en dus zeker homeomorf en diffeomorf) met $\mathbb{R}^n$ . De centrale projectie vanuit het tegenoverliggende punt $( - x)$ op $H x$ is een homeomorfisme (diffeomorfisme) tussen $S^n\setminus\{-x\}$ en $H x$ .

[bewerk] Gladde variëteit

[bewerk] Formele definitie

Een gladde variëteit (ook: differentieerbare variëteit, $C^\infty$ -variëteit) is een geordend paar $(M, A)$ waar $M$ een topologische variëteit is, en $A$ een differentieerbare atlas, d.w.z. een verzameling kaarten op $M$ met de volgende eigenschappen:

de domeinen van alle kaarten van $A$ overlappen de hele variëteit $M$
overal waar de domeinen van twee kaarten $k_1:V_1\to\mathbb{R}^n$ en $k_2:V_2\to\mathbb{R}^n$ elkaar overlappen, geldt dat de samenstelling

$k_1\circ k_2^{-1}|_{k_2(V_1\cap V_2)}$

onbeperkt differentieerbaar is.

Bovenstaande voorbeelden van topologische variëteiten kunnen zonder problemen worden geïnterpreteerd als gladde variëteiten.

Gladde variëteiten zijn het studieobject van de differentiaaltopologie.

Elke gladde variëteit beschikt over de belangrijke bijkomende structuur van een raakruimte in ieder punt en de bijhorende rakende bundel.

[bewerk] Exotische variëteiten

Met elke gladde variëteit komt per definitie een topologische variëteit overeen. De topologische structuur legt echter de differentieerbare structuur niet op unieke wijze vast. Er bestaan gladde variëteiten die niet diffeomorf zijn met elkaar, maar waarvan de onderliggende topologische variëteiten wel homeomorf zijn. Dit is onder meer het geval met de topologische variëteit $\mathbb{R}^4$ . Men spreekt van exotische differentiaalstructuren op $\mathbb{R}^4$ om ze te onderscheiden van de triviale gladde structuur uit het voorbeeld hierboven.

Iets gelijkaardigs doet zich voor in $S 7$ , de zevendimensionale sfeer.

[bewerk] Gladde afbeelding, diffeomorfisme

Een continue afbeelding $f:M\to N$ tussen twee gladde variëteiten van dimensie $m$ resp. $n$ heet glad als haar samenstelling met willekeurige kaarten (of hun inverse) op $M$ en $N$ , een onbeperkt differentieerbare afbeelding $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ oplevert.

Een diffeomorfisme is een bijectie tussen gladde variëteiten die in beide richtingen een gladde afbeelding is. Dat deze laatste eis niet overbodig is, toont de afbeelding

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^3$

Deze is een onbeperkt differentieerbaar homeomorfisme van de reële getallen naar zichzelf, maar de inverse is niet differentieerbaar in 0.

[bewerk] Doorsnede van gladde variëteiten

De doorsnede van twee deelvariëteiten van een gladde variëteit is in het algemeen geen variëteit; dit is echter wel gegarandeerd als de twee deelvariëteiten elkaar transversaal snijden.

[bewerk] Riemann-variëteit

Een Riemann-variëteit bestaat uit een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm in elke raakruimte (en zodanig dat de coëfficiënten van de kwadratische vorm in elk coördinatenstelsel onbeperkt differentieerbaar zijn).

De kwadratische vorm geeft betekenis aan het begrip "lengte" voor vectoren in de raakruimte, en (door integratie) voor krommen in de variëteit zelf.

Riemann-variëteiten zijn het studieobject van de moderne differentiaalmeetkunde.

[bewerk] Algebraïsche variëteit

Een algebraïsche variëteit beantwoordt aan de filosofie uit de inleiding, op voorwaarde dat we de $n$ -dimensionale Euclidische ruimte vervangen door $k n$ , het $n$ -voudig cartesiche product van een algebraïsch gesloten lichaam met zichzelf. De kaarten moeten algebraïsch zijn, d.w.z. dat de coördinatentransformaties kunnen uitgedrukt worden als algebraïsche functies.

De algebraïsche meetkunde bestudeert algebraïsche variëteiten en aanverwante objecten.

[bewerk] Riemannoppervlak

Een Riemannoppervlak (niet te verwarren met een Riemannse variëteit) is een tweedimensionale gladde variëteit waarvan de coördinatentransformaties kunnen worden opgevat als analytische functies (door de twee reële coördinaten te identificeren met de complexe getallen 1 en $i$ ).

[bewerk] Complex analytische variëteit

Bij een complex analytische variëteit vervangen we $\mathbb{R}^n$ door $\mathbb{C}^n$ en we eisen dat de coördinatentransformaties analytische functies in $n$ veranderlijken zijn. Eéndimensionale complex analytische variëteiten heten Riemannoppervlakken.

Categorieën: Meetkunde | Analyse

Variëteit (wiskunde)

Inhoud

[bewerk] Topologische variëteit

[bewerk] Formele definitie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Gladde variëteit

[bewerk] Formele definitie

[bewerk] Exotische variëteiten

[bewerk] Gladde afbeelding, diffeomorfisme

[bewerk] Doorsnede van gladde variëteiten

[bewerk] Riemann-variëteit

[bewerk] Algebraïsche variëteit

[bewerk] Riemannoppervlak

[bewerk] Complex analytische variëteit

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen