Projectie (wiskunde)

Inhoud

1 Algemene omschrijving
2 Evenwijdige projectie
3 Centrale projectie
4 Oneindigdimensionaal
5 Verzamelingenleer

[bewerk] Algemene omschrijving

In de meetkunde slaat de term projectie op verschillende soorten transformaties die gemeen hebben dat ze een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terugbrengen.

[bewerk] Evenwijdige projectie

In de vlakke meetkunde definieert men de evenwijdige of parallelle projectie volgens een rechte $A$ op een (niet-parallelle) rechte $B$ , genoteerd $\pi^A_B$ als de afbeelding die met ieder punt $p$ van het vlak het snijpunt $q$ associeert van $B$ met de unieke rechte door $p$ die evenwijdig loopt met $A$ .

In de ruimtemeetkunde bestaan twee verschillende veralgemeningen: evenwijdige projectie op een vlak volgens een gegeven richting; evenwijdige projectie op een rechte volgens een gegeven vlakrichting.

In het algemeen, zij $K$ een lichaam (in België: veld) en $0\leq k\leq n$ , dan kan men in de $n$ -dimensionale vectorruimte $K n$ een evenwijdige projectie definiëren op een $k$ -dimensionale deelruimte volgens een $(n - k)$ -dimensionale richting, op voorwaarde dat de gegeven deelruimte en de gegeven richting lineair onafhankelijk zijn.

[bewerk] Centrale projectie

In de vlakke meetkunde definieert men de centrale projectie vanuit een punt $o$ op een rechte $B$ (die $o$ mijdt), genoteerd $\pi^o_B$ als de partiële functie die met ieder punt $p$ van het vlak het snijpunt $q$ associeert van $B$ met de unieke rechte door $p$ en $o$ . Deze functie is partieel omdat ze niet gedefinieerd is voor $p = o$ .

Ook hier bestaan eenvoudige veralgemeningen in hogere dimensies.

In de projectieve meetkunde zijn evenwijdige en centrale projecties uitingen van hetzelfde begrip, omdat richtingen geïdentificeerd worden met punten "op oneindig".

[bewerk] Oneindigdimensionaal

De functionaalanalyse maakt gebruik van evenwijdige projecties in oneindigdimensionale reële of complexe vectorruimten, bijvoorbeeld Banachruimten. Meestal gaat men daarbij eisen dat de deelvectorruimte waarop geprojecteerd wordt, topologisch gesloten is.

[bewerk] Verzamelingenleer

Met een Cartesisch product wordt een stel projectie-afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. Zo heeft de productverzameling $A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}$ twee projecties $π A$ en $π B$ :

$\pi_A:A\times B\to A:(a,b)\mapsto a$
$\pi_B:A\times B\to B:(a,b)\mapsto b$

Voor een willekeurige familie verzamelingen $(A_i;i\in I)$ bestaat de productverzameling uit alle afbeeldingen $f$ van $I$ naar de unie van de familie $U_{i\in I}A_i$ , die iedere $i$ binnen $A i$ afbeelden. De $i$ -de projectie is

$\pi_i:(\prod_{j\in I}A_j)\to A_i:f\mapsto f(i)$

In de Cartesiaanse meetkunde op $\mathbb{R}^2$ komt deze verzamelingtheoretische definitie neer op evenwijdige projectie met één coördinaat-as op de andere as.