Sfeer (wiskunde)

De meetkunde definieert een sfeer als het oppervlak van een bol. Van daaruit zijn verschillende veralgemeningen ontstaan in diverse deelgebieden van de wiskunde.

Inhoud

1 Klassieke definitie
2 Hogere dimensies
3 Andere metrieken
4 Riemannsfeer

[bewerk] Klassieke definitie

Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand $R > 0$ liggen van een gegeven punt (het middelpunt van de sfeer).

$S(p,R)=\left\{x\in\mathbb{R}^3|d(x,p)=R\right\}$

Het oppervlak heeft grootte

$\! A=4\pi R^2.$

De vergelijking die een sfeer met oorsprong in het punt $\!(x_0,y_0,z_0)$ en straal $R$ definieert in cartesische coördinaten is,

$\! (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$

De eenheidssfeer is de sfeer $S (0,1)$ met middelpunt de oorsprong en straal 1.

[bewerk] Hogere dimensies

Voor ieder natuurlijk getal $n\geq0$ definieert men de $n$ -sfeer als

$S^n=S^n(0,1)=\left\{x\in\mathbb{R}^{n+1}|d(x,0)=1\right\}$

Het gehanteerde afstandsbegrip is meestal de Euclidische afstand

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_{n+1}-y_{n+1})^2}$

Afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde, wordt deze verzameling uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of Riemannse variëteit.

Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de drie-sfeer $S 3$ .

De drie-sfeer wordt soms "aanschouwelijk" gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van $\mathbb{C}^2$ :

$S^3=\left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C};|z_1|^2+|z_2|^2=1\right\}$

De topologische zeven-sfeer $S 7$ kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Eén daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende Euclidische ruimte $\mathbb{R}^8$ , de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.

[bewerk] Andere metrieken

In een willekeurige metrische ruimte $(X, d)$ (of zelfs een pseudometrische ruimte) is de sfeer met middelpunt $p$ en straal $R > 0$ op analoge wijze gedefinieerd:

$S(p,R)=\left\{x\in X|d(x,p)=R\right\}$

Nemen we bijvoorbeeld het vlak $\mathbb{R}^2$ met de taxi-metriek

d (x, y) = | x 1 - y 1 | + | x 2 - y 2 |

dan hebben de "sferen" de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.

[bewerk] Riemannsfeer

De Riemannsfeer is het Riemannoppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak $\mathbb{C}$ één punt $\infty$ toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van $\infty$ bepaald wordt door de afbeelding