יריעה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, יריעה היא מרחב מתמטי מופשט אשר במבט מקרוב (מבט מקומי) דומה למרחב בעל גאומטריה אוקלידית, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר. שטח פני כדור הארץ הוא דוגמה ליריעה, מקרוב הוא נראה שטוח אך במבט כולל מתגלה צורתו הכדורית. היריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל אחד מהם הוא בעצם קבוצה במרחב האוקלידי שנמתחה או כווצה. למרות שבאופן מקומי היריעה דומה למרחב אוקלידי התכונות הכלליות שלה יכולות להיות מאוד מפתיעות. לדוגמה בעוד שבמישור האוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, על פני כדור (שדומה למישור באופן מקומי) ניתן למצוא משולשים עם שלוש זוויות ישרות.

[עריכה] אטלסים ומפות

כאשר עוסקים במבנים טופולוגיים מורכבים, הרבה פעמים נוח לבחון רק חלקים קטנים שלהם, ששם מתקיימות תכונות מעניינות (קומפקטיות מקומית, קשירות מקומית ועוד), ומהסביבות האלו להסיק לגבי תכונות המרחב כולו. מקרה מיוחד, הוא כאשר הסביבות האלו נראות כמו מרחב טופולוגי מוכר אחר- מרחב וקטורי מעל הממשיים למשל. במקרה כזה אפשר "למפות" את המרחב על ידי קבוצה גדולה (ואפילו אינסופית) של חלקים ממנו שכל אחד מהם נראה כמו המרחב הטופולוגי המוכר. כל אחד מהחלקים האלו, יחד עם ההומאומורפיזם שלו למרחב המדובר, נקרא מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס. מקרה חשוב במיוחד הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משוים את החלקים של המרחב המקורי הוא המרחב האוקלידי. במקרה הזה המבנה נקרא יריעה, וממד היריעה נקבע להיות ממד המרחב האוקלידי שאליו היריעה הומאומורפית באופן מקומי. כיוון ששני מרחבים אוקלידים הן הומאומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו ממד- ממד היריעה נקבע באופן יחיד.

מקרה חשוב נוסף הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו שאליו משווים חלקים של המרחב המקורי הוא מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. במקרה הזה היריעה נקראת יריעה מרוכבת וממדה הוא ממד המרחב הווקטורי שאליו היא מושווית. כל יריעה מרוכבת מממד n היא גם יריעה ממשית רגילה מממד 2n.

[עריכה] יריעה טופולוגית

ערך מורחב – יריעה טופולוגית

יריעה היא מרחב האוסדורף, שמקיים את האקסיומה השנייה של המניה, בעל התכונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהומיאומורפית ל- $\mathbb{R}^n$ . אותו n מוגדר להיות מימד היריעה.
באופן שקול ניתן לדרוש שקיים אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את המרחב, כלומר האיחוד של כל הקבוצות באוסף הוא המרחב כולו, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב- $\mathbb{R}^n$ , (או של כל נקודה שרירותית אחרת ב- $\mathbb{R}^n$ ). כל קבוצה בכיסוי, יחד עם ההומאומורפיזם שלה, נקראת מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס.

הגדרה פורמלית: מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את האקסיומה השנייה של המניה וקיים לו כיסוי פתוח $\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}$ (כאשר $A$ קבוצת אינדקסים) כך שכל $\ U_\alpha$ הומיאומורפי לקבוצה פתוחה $\ V_\alpha$ , $\ V_\alpha\subset \mathbb{R}^n$ . פונקציית ההומאומורפיזם בין $\ U_\alpha$ ל- $\ V_\alpha$ מסומנת ב- $\varphi_\alpha$ .
קל לראות שלכל $\alpha\mbox{ ,}\beta\in A$ הפונקציה $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ שהיא פונקציה מ- $\mathbb{R}^n$ לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת). הזוג $\left(\ U_\alpha\mbox{,} \varphi_\alpha\right)$ נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס. לכל $\!\ \alpha$ , $\varphi_\alpha=\left( x_1,x_2,\dots ,x_n \right)$ כאשר $\!\ x_i$ היא פונקציה חד חד ערכית מ-M אל $\mathbb{R}$ . הפונקציות $\left( x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$ נקראות קואורדינטות מקומיות של M.

למעשה התנאי ההכרחי הזה הוא כמעט מספיק. כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף $\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}$ בן מניה, כך שלכל $\ U_\alpha$ קיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל $\varphi_\alpha$ שמעבירה את $\ U_\alpha$ לקבוצה פתוחה ב- $\mathbb{R}^n$ , אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ הן פונקציות רציפות (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת), כפונקציות מ- $\mathbb{R}^n$ לעצמו . הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות שחלקיות ל- $\ U_\alpha$ , עבור $\alpha \in A$ כלשהו. כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי שמכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השניה.

בעצם המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ . אם הפונקציות שמתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של $\mathbb{R}^n$ ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על M.
אם נדרוש מהפונקציות $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ להיות גם גזירות, חלקות או אנליטיות אז הפונקציות $\varphi_\alpha$ יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על M, בנוסף למבנה הטופולוגי.

כל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) של היריעה מהווה יריעה בעצמה, שמימדה הוא מימד היריעה המקורית. המפות של היריעה החדשה מתקבלות על ידי צמצום המפות המקוריות לאותה קבוצה פתוחה (כשמתייחסים למפות כפונקציות).

[עריכה] יריעות חלקות

ערך מורחב – יריעה חלקה

יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה דורשים מהפונקציות $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ להיות פונקציות חלקות. האטלס של היריעה החלקה נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים שמוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני. (אפשר לראות בקלות שזהו בעצם יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)
היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.
עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה - נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.

[עריכה] דוגמאות ליריעות חלקות

$\mathbb{R}^n$ הוא יריעה חלקה ממימד n, על ידי מפה יחידה שפורשת את כל המרחב, יחד עם העתקת הזהות.
כל מרחב וקטורי ממימד סופי n, הוא יריעה חלקה ממימד n על ידי מפה יחידה שמכסה את כל המרחב, והקואורדינטות שמוגדרות על ידי בסיס כלשהו.
הספירה ה-n ממדית, $\mathbb{S}^n$ , שהיא שפת שכדור היחידה ה-n+1 ממדי היא יריעה חלקה מממד n.

פירוק מעגל לארבע מפות

לדוגמה את $\mathbb{S}^1$ , הספירה החד-ממדית (שמשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור. המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג:
$\left(\{\ (\sqrt{1-y^2},y) : y \in (-1,1)\}\ , (x,y) \rightarrow y \right)$
כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה- הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y.
על ידי זיהוי $\mathbb{S}^1$ , עם מעגל היחידה ב- $\mathbb{C}$ ניתן לראות של- $\mathbb{S}^1$ יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.

[עריכה] פונקציות חלקות על יריעות

התכונה החשובה ביותר של היריעות החלקות היא היכולת להגדיר עליהן מושגים של גזירות ו-חלקות בלי תלות במערכת הקואורדינטות המקומית, מה שלא ייתכן ביריעה טופולוגית כללית.
פונקציה $\ f:M\rightarrow \mathbb{R}$ נקראת פונקציה חלקה בנקודה p אם קיימת מפה $\ (U , \varphi )$ כך שהפונקציה $\ f \circ \varphi^{-1} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים $\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}$ היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי: $\ f \circ \varphi_\beta^{-1} = \left( f \circ \varphi_\alpha^{-1} \right) \circ \left( \varphi_\alpha \circ \varphi_\beta^{-1} \right)$ , כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינוורינטי ביחס לשינוי קואורדינטות.

לפי אותו רעיון פונקציה $\ F: M \rightarrow N$ היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות $(U,\varphi ) , (W, \psi )$ הפונקציה $\psi \circ F \circ \varphi^{-1}$ היא חלקה בתחום הגדרתה.

אם נתייחס לקטע הפתוח $\ (a,b) \sub \mathbb{R}$ כאל יריעה (עם המבנה הטבעי כקבוצה פתוחה במרחב האוקלידי- שהוא יריעה חלקה) אז העקומה $\gamma : (a,b) \rightarrow M$ היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה בין היריעות (a,b) ו-M.

אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.

[עריכה] המרחב המשיק

ערך מורחב – המרחב המשיק

המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב לינארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כוקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר). למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.
לכל נקודה p, המרחב המשיק בנקודה שמסומן $T p M$ , הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים שפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם לינאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ'"):

$\ v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$ כאשר $\ f , g$ הן פונקציות חלקות ו- $\ v$ הוא וקטור במרחב המשיק.

הווקטורים של המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים.

[עריכה] יריעה אנליטית

בדומה להגדרת היריעה החלקה- יריעה אנליטית היא יריעה טופולוגית שהמפות שלה מתנגשות באופן שהוא פונקציה אנליטית כלומר לכל זוג מפות הפונקציה $\varphi \circ \psi^{-1}$ היא פונקציה אנליטית. על יריעות כאלו ניתן להגדיר אלו פונקציות הן פונקציות אנליטיות באופן שאניו תלוי במערכת הקואורדינטות.