Postulaten van Euclides
Er zijn vijf postulaten van Euclides waarmee de grondslagen van de meetkunde worden gelegd.
Inhoud |
[bewerk] Algemeen
In het meesterwerk 'Elementen' van Euclides wordt het bouwwerk van de Meetkunde gebaseerd op een vijftal postulaten:
- Door twee punten kun je altijd precies één rechte lijn trekken.
- Een rechte lijn kun je eindeloos doortrekken terwijl het een rechte lijn blijft.
- Elk lijnstuk kan de straal van een cirkel zijn, waarbij een van de uiteinden van dat lijnstuk het middelpunt van die cirkel is.
- Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
- Als je een oneindig lange rechte lijn hebt en een punt daarbuiten, dan kun je daar precies één oneindig lange lijn doorheen trekken die de eerste niet snijdt.
Het vijfde postulaat (ook wel het parallellenpostulaat genoemd) werd door Euclides veel complexer geformuleerd. De meetkunde die mede op dit laatste postulaat gebaseerd is, heet Euclidische meetkunde. De rechte lijnen in deze meetkunde kun je je voorstellen als in een plat vlak: de twee lijnen in het vijfde postulaat zijn dan als de spoorstaven van treinrails die elkaar immers ook nooit snijden.
Geen enkel van de postulaten kan bewezen worden. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde is gebaseerd. Vele wiskundigen hebben geprobeerd het vijfde postulaat te bewijzen uit de vier andere, maar tevergeefs.
Sterker nog: er zijn (even onbewijsbare) alternatieven voor:
- de elliptische meetkunde
- de hyperbolische meetkunde
Deze worden de de niet-Euclidische meetkundes genoemd.
[bewerk] Elliptische meetkunde
In de elliptische meetkunde wordt het vijfde postulaat als volgt geformuleerd:
5. Als je een oneindig lange rechte lijn hebt en een punt daarbuiten, dan kun je daar niet één oneindig lange lijn doorheen trekken die de eerste niet snijdt.
Hier moet je je losmaken van het gebruikelijke beeld van een punt en een rechte lijn. Een 'rechte lijn' is hier een (deel van een) grootcirkel om een bol, dat is een cirkel die het centrum van de bol als middelpunt heeft, zoals de evenaar van de aardbol. Een 'punt' bestaat hier uit twee helften, een aan de ene kant van de bol en een precies aan de andere kant. Dit lijkt vreemd, maar het is niet in tegenspraak met de eerste vier postulaten. En nu komt het: een tweetal 'rechte lijnen' door twee verschillende 'punten' snijden elkaar altijd, en wel in één 'punt'. Dit is een ontkenning van het 5e postulaat van Euclides.
[bewerk] Hyperbolische meetkunde
In de hyperbolische meetkunde wordt het vijfde postulaat als volgt geformuleerd:
5. Als je een oneindig lange rechte lijn hebt en een punt daarbuiten, dan kun je daar minstens twee oneindig lange lijnen doorheen trekken die de eerste niet snijden.
Deze meetkunde kun je je voorstellen als een die zich afspeelt binnen een cirkel, waar een 'rechte lijn' een cirkelsegment is die de eerstgenoemde cirkel loodrecht snijdt (alle middellijnen van de cirkel horen daar ook bij).
[bewerk] Analogieën
Er is een analogie met kegelsneden, zodat de Euclidische meetkunde kan worden opgevat als een grensgeval tussen de elliptische en hyperbolische, en dus 'parabolische' meetkunde zou mogen heten.
[bewerk] Bronnen
- Dijksterhuis, E.J.; De Elementen van Euclides, Vol. 1 and 2, Groningen: Noordhoff, 1929-1930.
