Hoek (meetkunde)

Twee snijdende lijnen met hoeken α en β daartussen

Een hoek in de meetkunde is een figuur in een plat vlak gevormd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. Draait men een van de halfrechten om het gemeenschappelijke punt tot hij met de andere samenvalt, dan doorloopt de halfrechte de hoek tussen beide. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat oor de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel. Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten.

Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-selsel wordt een hoek gemeten in radialen. Een cirkel is gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.

Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Inhoud

1 Ruimtehoek
2 Geschiedenis
- 2.1 Tekenen van een hoek
3 Eenheden
- 3.1 Conversies tussen de verschillende eenheden
4 Conventies
5 Eigenschappen
- 5.1 Gelijke hoeken
- 5.2 Hoeken in regelmatige veelhoeken
6 Bepalen van een hoek
- 6.1 Meten
- 6.2 Berekenen
7 Gebruik
8 Hoek in de taal
9 Zie ook
10 Bronnen
11 Externe link

[bewerk] Ruimtehoek

In de ruimte bestaat het begrip ruimtehoek als analogon van "hoek" in het platte vlak. Men kiest een observatiepunt en een oppervlak in de ruimte. De ruimtehoek van dat oppervlak is dan dat deel van de ruimte binnen de kegel met het observatiepunt als top en rakend aan de contouren van het oppervlak, vermenigvuldigd met 4π. De SI-eenheid van een ruimtehoek is de steradiaal.

[bewerk] Geschiedenis

Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 à 300 vC) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een talstelsel gebaseerd op het getal "60". Toenmalige wiskundigen verdeelden de (3 gelijke) hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, nu graden geheten. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten (ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd), en de minuut in 60 seconden (ook wel boogseconden genoemd).

De Oude Grieken konden aan de hand van een hoek de omtrek van de Aarde bepalen, en de afstand tot de Maan. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

[bewerk] Tekenen van een hoek

Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de trisectie van een willekeurige hoek, enkel met passer en liniaal. Het was hen wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde standaardhoeken (die van 90°, 60°, 72° 54°) te tekenen (de laatste drie uit een regelmatige drie- en vijfhoek). Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas veel later werd aangetoond dat de trisectie niet mogelijk is (Pierre Wantzel, 1837).

[bewerk] Eenheden

Zie Eenheden van hoek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

Een rechte hoek $= \frac{\pi}{2}$ rad. Een cirkel omvat $2π$ rad.

Veel vaker gebruikt in het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°).

Een rechte hoek = 90°. Een cirkel omvat 360°.

In de geodesie wordt gon gebruikt.

Een rechte hoek = 100 gon. Een cirkel omvat 400 gon.

De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten.

[bewerk] Conversies tussen de verschillende eenheden

2π rad = 360° = 400 gon

1 rad = 57° 17' 45" = 63,6620 gon

1° = 0,0175 rad = 1,1111 gon

1 gon = 0,0157 rad = 0° 54"

[bewerk] Conventies

Een hoek is positief indien deze met de wijzers van de klok mee wordt gelezen. Een hoek is negatief indien deze in tegenwijzerzin (tegen de wijzers van de klok in) wordt afgelezen.

In volgende figuur is $\angle{BAC} = - \angle{CAB}$ , enkel de rotatiezin verschilt. Hoek $\angle{BAC}$ is dus negatief, hoek $\angle{CAB}$ is positief.

Een hoek van 90° of $\frac{\pi}{2}$ rad (maw: ¹⁄₄ van een cirkel, 100 gon) wordt recht genoemd, een hoek die kleiner is, is een scherpe hoek, een hoek die groter is, is stomp. Een rechte hoek wordt ook wel haaks genoemd. Een hoek van 180° of $π$ rad wordt ook wel een gestrekte hoek genoemd.

complementaire en supplementaire hoeken

α

β

zijn supplementaire hoeken als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: $\alpha + \beta =\pi \frac{}{}$ (180°);

α

β

zijn complementaire hoeken als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: $\alpha + \beta =\frac{\pi}{2}$ (90°)


Supplementaire hoeken	Complementaire hoeken

1/60 van een graad (°) is een minuut (1'), 1/60 van een minuut is een seconde (1")

Hoeken blijven gelijk wanneer er een geheel keer π (hoek in radialen) of 360° (graden) wordt opgeteld; de hoofdwaarde van een hoek is de grootte van de hoek θ, zodat $0 \leq \theta<2\pi$ (wanneer θ in radialen is) of zodat $0\leq \theta<360$ ° (in graden)

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Gelijke hoeken

In de drie hieronder staande gevallen is $\alpha = \beta \,$ :

	overstaande hoeken
	Hier is de rechte h evenwijdig aan h'.
	Opnieuw is h evenwijdig aan h', dit geval is eenvoudig uit de bovenstaande twee te halen

Hieronder zijn de rechte hoeken ( $\frac{\pi}{2}$ rad) aangeduid met een boog en een punt:

	hier is $\alpha = \beta \,$
	hier is $\alpha + \beta =\pi \,$

[bewerk] Hoeken in regelmatige veelhoeken

In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° ( $π$ rad) is, bij een vierhoek is de som 360° ( $2π$ rad).

Algemeen geldt voor een veelvlak met $n$ zijden, dat de som van de inwendige hoeken $(n - 2)π$ of $(n-2) \times 180$ ° is.

Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° ( $\frac{\pi}{3}$ rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° ( $\frac{\pi}{2}$ rad).

Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk $\frac{n-2}{n} \times 180$ ° oftewel $\frac{n-2}{n} \pi$ rad.

[bewerk] Bepalen van een hoek

[bewerk] Meten

Een sextant

met behulp van een goniometer (aanwezig op een goniodriehoek). Vroeger werd een dergelijk apparaat gebruikt in de scheepvaart, om de positie van het schip te bepalen;

met behulp van een theodoliet (gebruikt door oa landmeters);

op schepen gebruikt men een sextant;

vroeger werd een Jacobsstaf gebruikt.

[bewerk] Berekenen

Alle gevallen worden omgezet in het eerste geval, een hoek tussen twee vectoren.

De hoek tussen twee vectoren u en v kan bepaald worden uit $\cos(\theta)=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|}$ , waarbij men gebruik maakt van het inwendig product.

De hoek tussen twee rechten r en l kan bepaald worden uit de hoek tussen de richtingsvectoren van de resp. rechten (zodat men in bovenstaand geval terecht komt)

De hoek tussen twee vlakken wordt berekend uit de hoek tussen de twee normaalvectoren van de vlakken.

Normaalvector

De hoek tussen een vlak en een rechte wordt berekend uit het complement van de hoek tussen de normaalvector op het vlak, en een richtingsvector van de rechte: stel $α$ de hoek tussen de twee vectoren, dan is de hoek tussen de rechte en het vlak $\frac{\pi}{2}-\alpha$

[bewerk] Gebruik

Definitie van de parsec

In de geodesie (aardrijkskunde):
- azimuth;
- lengte-en breedtegraad;
In de Astronomie: de definitie van de parsec: De parsec is de afstand die men vanaf de Aarde de ruimte moet ingaan, opdat men van die afstand de gemiddelde afstand Aarde -zon onder een hoek van één boogseconde ziet. (zie figuur).
In de meetkunde de hoeken van Euler

Rol (roll), gier (yaw) en stamp (pitch)-hoeken

In de optica
- invalshoek: hoek tussen de invallende stralen en de het oppervlak;
- parallax;
Bij schepen en vliegtuigen: de rol, gier en stamp hoeken
In de aerodynamica: de invalshoek is de hoek waarlangs het fluïdum het vleugelprofiel treft

[bewerk] Hoek in de taal

Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

Hij komt grappig uit de hoek.
Het hoekje om gaan (een eufemisme voor sterven).
In de hoek staan (voor straf in de klas in de hoek gezet worden).
Het gezin is de hoeksteen van de samenleving (het gezin zou de steen zijn, waar al het andere op is gebaseerd).
De wind waait uit een andere hoek (uit de scheepvaart; figuurlijk betekent dit dat veel zal gaan veranderen).
Het Duitse woord voor hoek is winkel. Dit komt in het Nederlands terug in het woord winkelhaak.