Lp-ruimte

Let op: de juiste naam is

L p

-ruimte .

$L p$ -ruimten zijn wiskundige structuren, topologische vectorruimten, die opduiken bij de systematische studie van grote verzamelingen functies, bijvoorbeeld bij de studie van partiële differentiaalvergelijkingen.

Inhoud

1 Klassieke definitie
2 Integralen
3 Bijzondere gevallen
4 Samenvattend en om verwarring te voorkomen

[bewerk] Klassieke definitie

Zij $1\leq p<\infty$ . Definieer $l p$ als de verzameling oneindige rijen reële getallen $(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots)$ met de eigenschap dat de reekssom van hun $p$ -de machten absoluut convergeert:

$\sum_{i=0}^\infty|a_i|^p<\infty.$

De verzameling $l p$ vormt een vectorruimte met de puntsgewijze optelling van rijen en de puntsgewijze vermenigvuldiging met een reëel getal:

$r .(a i) i + s .(b j) j = (r a k + s b k) k$

De $p$ -de machtswortel van bovenstaande reekssom is een norm:

$\|(a_i)_i\|_p=(\sum_{i=0}^\infty|a_i|^p)^{1\over p}.$

De hiermee geassocieerde metrische ruimte is volledig, $l p$ is dus een Banachruimte.

Als $p > 1$ , dan is de duale Banachruimte van $l p$ op natuurlijke wijze isometrisch met de Banachruimte $l q$ , waar ${1\over p}+{1\over q}=1$ . De natuurlijke isometrie wordt gegeven door een rij $(b j) j$ uit $l q$ als volgt als een functionaal te laten werken op een rij $(a i) i$ uit $l p$ :

$(a_i)_i\mapsto\sum_{i=0}^\infty a_ib_i.$

De ongelijkheid van Hölder garandeert dat bovenstaande reeks absoluut convergeert. Als $p = 2$ , dan is ook $q = 2.$ De ruimte $l 2$ is een Hilbertruimte met als scalair product het rechterlid van bovenstaande uitdrukking.

De verzameling $l^\infty$ bestaat uit alle begrensde reële rijen. Dit wordt een Banachruimte met de supremumnorm

$\|(a_i)_i\|_\infty=\sup_{i=0}^\infty|a_i|.$

De geïnduceerde topologie is die van de uniforme convergentie. Omdat, met een beetje goede wil, ${1\over 1}+{1\over\infty}=1$ , lijkt het vanzelfsprekend dat $l^\infty$ de duale ruimte is van $l 1$ en dit blijkt ook waar te zijn. Het omgekeerde is echter niet waar: $l 1$ komt op natuurlijke wijze overeen met een echte deelruimte van de duale van $l^\infty$ .

[bewerk] Integralen

Naar analogie met bovenstaande $l p$ -ruimten wordt een $L p$ -ruimte gedefinieerd aan de hand van integreerbare klassen van reële functies in de zin van de Lebesgue-integraal.

We geven hier de algemene definitie met klassen van integreerbare functies op een maatruimte $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ . De functies nemen waarden aan in de reële getallen $\mathbb{R}$ of in de complexe getallen $\mathbb{C}$ . De theorie is sterk analoog in beide gevallen, en we gebruiken de letter $\mathbb{K}$ om één van de twee lichamen aan te geven. De topologische vectorruimten die we definiëren, zijn vectorruimten over $\mathbb{K}$ .

Zij $0<p<\infty$ . Definieer $\mathcal{L}^p$ als de verzameling $\mathcal{A}$ -meetbare functies $f:\Omega\to\mathbb{K}$ waarvan de $p$ -de macht absoluut integreerbaar is:

$\int_\Omega|f(\omega)|^pd\mu(\omega)<\infty.$

Zij $\mathcal{N}$ de deelvectorruimte van de nulfuncties. Dan is bovenstaande uitdrukking nog steeds welgedefinieerd op de nevenklassen van $\mathcal{N}$ in $\mathcal{L}^p$ . We gebruiken nog steeds de functienotatie $f (ω)$ voor equivalentieklassen van functies modulo $\mathcal{N}$ , en noteren $L^p=\mathcal{L}^p/\mathcal{N}$ voor de quotiëntruimte.

Als $p\geq 1$ , dan is

$\|f\|_p=(\int_\Omega |f(\omega)|d\mu(\omega))^{1\over p}$

een norm op $L p$ , en $(L^p,\|.\|_p)$ is een Banachruimte.

Als $0 < p < 1$ , dan is de functie

d(f,g) =	∫	\| f(ω) − g(ω) \| ^pdμ(ω)
	Ω

een translatie-invariante metriek op $L p$ , en $(L p, d)$ is een volledige metrische ruimte. In de functionaalanalyse heet dit een F-ruimte. Deze ruimte is echter niet lokaal convex, dus geen Fréchetruimte.

Definieer $L^\infty$ als de verzameling meetbare functieklassen op $Ω$ die essentieel begrensd zijn in de zin dat

$\|f\|_\infty=\inf_{N\in\mathcal{A},\mu(N)=0}\sup_{\omega\in\Omega\setminus N}|f(\omega)|<\infty.$

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van $f$ . Het is het supremum van de absolute waarde van $f$ op eventuele nulverzamelingen na.

Dan is $(L^\infty,\|.\|_\infty)$ een Banachruimte.

[bewerk] Bijzondere gevallen

De ruimten $l p$ komen terug als bijzonder geval door als maatruimte de telmaat op de natuurlijke getallen te nemen. De $L p$ -ruimten van reële functies krijgt men met de Lebesguemaat op de reële getallen.

Als $μ$ een eindige maat is, en $1\leq p\leq q\leq\infty$ , dan volgt uit de ongelijkheid van Jensen dat $L q$ een deelvectorruimte is van $L p$ . De twee normen zijn uiteraard verschillend (en normaal gesproken zelfs niet topologisch equivalent) op de deelruimte; in het bijzonder is de deelvectorruimte niet noodzakelijk gesloten in de topologie van de grotere ruimte.

[bewerk] Samenvattend en om verwarring te voorkomen

Er wordt hier onderscheid gemaakt tussen drie verschillende ruimten.

$l p (X)$ gaat over de convergentie van reeksen, $\mathcal{L}^p$ gaat over de integreerbaarheid van functies en $L P (X)$ gaat over de collectie van de klassen.

Voor $p = 1$ geldt voor alle drie de ruimten, dat het een Banachruimte is. Voor $p = 2$ geldt voor alle drie de ruimten, dat het een Hilbertruimte is.

Categorie: Functionaalanalyse

Lp-ruimte

Inhoud

[bewerk] Klassieke definitie

[bewerk] Integralen

[bewerk] Bijzondere gevallen

[bewerk] Samenvattend en om verwarring te voorkomen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken