Banachruimte
Een Banachruimte is een begrip uit de wiskunde, meer precies de functionaalanalyse. Het is genoemd naar de Poolse wiskundige Stefan Banach. Een Banachruimte is een reële of complexe vectorruimte die voorzien is van een norm en ten aanzien van die norm volledig is.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Een lineaire ruimte V waarop een norm ||.|| is gedefinieerd heet een Banachruimte als elke Cauchyrij 
met betrekking tot de metriek 
in V convergent is, d.w.z. dat er een 
is met 
.
[bewerk] Dimensie
Eindigdimensionale Banachruimten over hetzelfde getallenlichaam en met dezelfde dimensie, zijn onderling equivalent. Dat wil zeggen dat er een omkeerbare lineaire transformatie bestaat die in beide richtingen continu is. De interessantste Banachruimten zijn oneindigdimensionaal.
[bewerk] Voorbeelden
Een belangrijk voorbeeld vormen de Lebesgue-integreerbare scalaire functieklassen op een maatruimte, met als norm de Lebesgue-integraal van de absolute waarde.
Algemener, zij p een reëel getal tussen 1 en oneindig, dan is de ruimte der meetbare scalaire functieklassen waarvan de p-de macht Lebesgue-integreerbaar is, een Banachruimte. In dat geval is de norm van een functie, de p-de machtswortel uit de integraal van de p-de macht van de absolute waarde.
Voor p = 2 is bovenstaand voorbeeld bovendien een Hilbertruimte. Alle Hilbertruimten zijn per definitie Banachruimten, maar niet omgekeerd.
Bovenstaande voorbeelden komen uitgebreider aan bod in het artikel Lp-ruimte.
De begrensde continue complexwaardige functies op (een deel van) Rn, met als norm de kleinste bovengrens van de absolute waarde, vormen een Banachruimte. Idem voor de begrensde functies die niet noodzakelijk continu zijn.
[bewerk] Bijzondere structuren
De structuur van een Banachruimte kan vaak nuttig worden verrijkt door er een vermenigvuldiging van vectoren aan toe te voegen, zoals bijvoorbeeld de puntsgewijze vermenigvuldiging in sommige ruimten van begrensde functies. We gaan ervan uit dat die vermenigvuldiging associatief is, en tweezijdig distributief ten opzichte van de optelling van vectoren. De Banachruimte is dan een (associatieve) vectoralgebra.
Als die vermenigvuldiging bovendien voldoet aan de ongelijkheid 
en over een neutraal element e beschikt (x.e = x = e.x), dan spreken we van een Banach-algebra.
De vermenigvuldiging hoeft niet noodzakelijk commutatief te zijn. Als voor alle vectoren x en y geldt dat x.y = y.x, dan spreken we van een commutatieve Banachalgebra.
