Lebesgue-integraal

In de wiskundige analyse geeft de integraal van een positieve functie een nauwkeurige betekenis aan het begrip "oppervlakte onder de kromme". Het eenvoudigste integraalbegrip is gebaseerd op de formulering van Bernhard Riemann en wordt daarom soms Riemann-integraal genoemd. De Lebesgue-integraal, genoemd naar zijn uitvinder Henri Lebesgue, is een constructie die een grotere klasse van functies integreerbaar maakt; hij kan bovendien worden veralgemeend tot functies op andere domeinen dan de reële getallen.

Stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaker eenvoudiger te formuleren en te bewijzen in termen van de Lebesgue-integraal dan in termen van de Riemann-integraal.

Inhoud

1 Constructie van de Lebesgue-integraal
- 1.1 Lebesgue-maat
- 1.2 Integraal van een meetbare functie
2 Bijna overal
3 Integraal van een limietfunctie
- 3.1 Tegenvoorbeeld

[bewerk] Constructie van de Lebesgue-integraal

De meest overzichtelijke opbouw van de Lebesgue-integraal gebeurt in twee afzonderlijke stappen:

de theorie der meetbare verzamelingen en afbeeldingen, en de maat van deze verzamelingen (maattheorie)
de integraal van (sommige) meetbare functies

[bewerk] Lebesgue-maat

Aan de maattheorie ontlenen we het begrip sigma-algebra of stam. In het bijzonder is de Borelstam van de reële getallen, de kleinste $σ$ -algebra die de intervallen bevat.

De Borelstam wordt uitgerust met de Lebesgue-maat, die uniek vastligt door aan ieder eindig interval als maat zijn lengte toe te kennen.

De Borelstam is voor de Lebesgue-maat niet volledig, in de zin dat een deelverzameling van een nulverzameling niet altijd meetbaar is. De aldus vervolledigde $σ$ -algebra heet de Lebesgue-stam.

Een meetbare functie is een meetbare afbeelding van $\mathbb{R}$ naar $\mathbb{R}$ , d.w.z. een afbeelding

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

die de Lebesgue-stam respecteert in de zin dat het inverse beeld van een meetbare verzameling steeds meetbaar is.

Men kan het bestaan aantonen van verzamelingen en functies die niet Lebesgue-meetbaar zijn. De meeste reële functies die in alledaagse toepassingen opduiken, zijn evenwel meetbaar.

[bewerk] Integraal van een meetbare functie

De integraal van een functie wordt achtereenvolgens gedefinieerd voor:

indicatorfuncties
enkelvoudige functies
niet-negatieve meetbare functies
(sommige) algemene meetbare functies

De indicatorfunctie van een meetbare verzameling $A$ , genoteerd $1 A$ , neemt de waarde 1 aan op alle elementen van $A$ , en 0 overal elders.

De integraal van $1 A$ is per definitie gelijk aan de maat van $A$ : $\int1_A=\mu(A)$

De maat van $A$ , en dus de integraal van $1 A$ , kan eventueel oneindig zijn.

Een enkelvoudige functie is een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties met positieve coëfficiënten $a i$ :

$f(x)=\sum_{i=1}^na_i1_{A_i}(x)$

De integraal van een enkelvoudige functie wordt gedefinieerd door lineariteit:

$\int f=\sum_{i=1}^na_i\int1_{A_i}=\sum_{i=1}^na_i\mu(A_i)$

Zij $f$ nu een willekeurige meetbare functie waarvan de waarden steeds groter dan of gelijk aan nul zijn. We definiëren

$\int f=\sup\{\int e|e\le f,e\hbox{ enkelvoudig}\}$

Tenslotte kan elke reële functie worden geschreven als het verschil van twee niet-negatieve functies:

f = f + - f -,

waar $f + = max{f,0}$ en $f - = max{ - f,0}$ .

We noemen $f$ integreerbaar als $f +$ en $f -$ allebei een eindige integraal hebben, en in dat geval stellen we

$\int f=\int f^+-\int f^-$

Ter verantwoording van bovenstaande constructies geldt de volgende stelling:

Alle Riemann-integreerbare functies zijn Lebesgue-integreerbaar, en de waarden van de twee integralen stemmen overeen.

[bewerk] Bijna overal

Een eigenschap van reële getallen (of in het algemeen, van de elementen van de drager van een maatruimte) geldt bijna overal als de verzameling waar die eigenschap niet geldt, een nulverzameling is.

Zo zeggen we dat twee reële functies $f$ en $g$ bijna overal gelijk zijn, als

$\mu\{x|f(x)\neq g(x)\}=0.$

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt voor de Lebesgue-integraal in de volgende vorm:

Als $f$ een Lebesgue-integreerbare functie is, en $a$ een willekeurig reëel getal, dan is de primitieve functie

$F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto\int f.1_{[a,x]}$

bijna overal differentieerbaar, en haar afgeleide is bijna overal gelijk aan $f$ .

[bewerk] Integraal van een limietfunctie

De stelling van de gedomineerde convergentie (stelling van Lebesgue) geeft een voldoende voorwaarde opdat de integraal van een limiet gelijk is aan de limiet van de integralen.

Zij $(f_1,f_2,\ldots,f_n,\ldots)$ een rij meetbare functies die voor bijna elke waarde van $x$ naar een functie $f$ convergeren, en veronderstel dat er een integreerbare functie $g$ bestaat met de eigenschap dat

$\forall n\in\mathbb{N}:|f_n(x)|\leq g(x)$ bijna overal

Dan is $f$ integreerbaar en

$\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n$

De integreerbare functie g domineert de termen van de rij. De stelling zegt dat integralen en limieten mogen verwisseld worden, op voorwaarde dat de hele rij globaal door een integreerbare functie begrensd wordt. Dat die voorwaarde niet overbodig is, blijkt uit het volgende

[bewerk] Tegenvoorbeeld

Zij

$f_n=2^n.1_{\left[2^{-n},2^{1-n}\right]},\ n=1,2,\ldots$

dan is voor elk getal x afzonderlijk, f_n(x)=0 voor voldoende grote n. De limietfunctie is dus niet alleen bijna overal, maar zelfs overal 0. De afzonderlijke integralen zijn echter constant en verschillend van 0:

$\int f_n=2^n.\left(2^{1-n}-2^{-n}\right)=1.$