Norm (wiskunde)

Aan wiskundige objecten kan soms een eigenschap norm worden toegekend die veel overeenkomst vertoont met het gewone begrip lengte. Bepaalde basiseigenschappen van 'lengte' worden gebruikt om het begrip norm te definiëren.

[bewerk] Definitie

Onder de norm $\|v\|\,$ van een vector v, verstaan we een functie van een reële of complexe vectorruimte naar de reële getallen met de volgende eigenschappen:

0. De norm is niet negatief.

$\|v\| \geq 0$ .

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

$\|v\| = 0 \Rarr v=0$

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de absolute waarde van de scalair:

$\|\alpha v\| = |\alpha|\cdot \|v\|\,$

3. (Driehoeksongelijkheid) De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

$\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|$

Een vectorruimte die met een dergelijke functie is uitgerust, heet genormeerde ruimte. Bij een genormeerde ruimte is op natuurlijke wijze een afstandsfunctie of metriek realiseerbaar, en wel door de afstand d(v,w) tussen twee vectoren v en w te definiëren als de norm van de verschilvector:

$d(v,w) = \|v-w\|$ .

Als de aldus ontstane metrische ruimte volledig is, spreken we van een Banachruimte.

[bewerk] Voorbeelden

Op de vectorruimte $\mathbb{R}^n$ of $\mathbb{C}^n$ is de volgende functie een norm, Euclidische norm geheten:

$\|(x_1,x_2,...,x_n)\| = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}$

Algemener is voor ieder reëel getal $p \ge 1$ de volgende functie een norm (men verkrijgt de Euclidische norm voor p = 2):

$\|(x_1,x_2,...,x_n)\|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}$

In de limiet van $\|.\|_p$ voor $p\to\infty$ ) ontstaat de supremumnorm:

$\|(x_1,x_2,...,x_n)\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|,...,|x_n|)$

Elk willekeurig inwendig product bepaalt een norm met de formule

$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$

De Euclidische norm verkrijgt men aldus voor het standaard inwendig product op $\mathbb{R}^n$ :

$\langle x,y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_ny_n$

of op $\mathbb{C}^n$ :

$\langle x,y\rangle=x_1\overline y_1+\ldots+x_n\overline y_n$

[bewerk] Seminorm

Een functie die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procédé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte (pseudometriek). De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een deelvectorruimte, die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie. Op de quotiëntruimte wordt dan een normfunctie gedefinieerd door met iedere nevenklasse de pseudonorm van eender welke vertegenwoordiger te associëren. De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Categorieën: Lineaire algebra | Topologie | Functionaalanalyse

Norm (wiskunde)

[bewerk] Definitie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Seminorm

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen