Begrensdheid

Diverse takken van de wiskunde gebruiken het adjectief begrensd om aan te geven dat een object eindige afmetingen heeft.

Inhoud

1 Begrensde verzameling
2 Begrensde functie
3 Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimte
4 Begrensde lineaire operator
5 Essentieel begrensd

[bewerk] Begrensde verzameling

In de meetkunde heet een deelverzameling $V$ van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens $D$ bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van $V$ :

$\exists D\in\mathbb{R},\forall x,y\in V:d(x,y) \leq D$

De verzameling van dergelijke getallen $D$ vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van $V$ .

Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.

[bewerk] Begrensde functie

Een reële functie $f$ heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van $\mathbb{R}$ is, t.t.z. als er getallen $m < M$ bestaan zodat $\forall x:m \leq f(x) \leq M$ . De kleinst mogelijk bovengrens $M$ heet supremum van $f$ , de grootst mogelijke ondergrens $m$ is het infimum van $f$ .

Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling $A$ en een (pseudo)metrische ruimte $X$ .

[bewerk] Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimte

In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek $d(x,y)=\|x-y\|$ voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling $A$ gelijkwaardig:

$A$ is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
Voor elke omgeving $V$ van de nulvector bestaat een schaalfactor $\alpha\in\mathbb{R}^+$ zodat $A\subset\alpha V$ .

De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.

[bewerk] Begrensde lineaire operator

Een lineaire afbeelding $T:V\to W$ (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van $V$ afbeeldt op begrensde delen van $W$ .

Als $V$ en $W$ Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat $T$ continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.

[bewerk] Essentieel begrensd

Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte $(A,\mathcal{A},\mu)$ draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie $f:A\to\mathbb{C}$ essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:

$\|f\|_\infty=\inf_{N\in\mathcal{A},\mu(N)=0}\sup_{\omega\in\Omega\setminus N}|f(\omega)|<\infty.$

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van $f$ . Het is het supremum van de absolute waarde van $f$ op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte $L^\infty$ (zie Lp-ruimte).