Integraalrekening

De integraal van f(x) is de oppervlakte tussen de curve y = f(x) en de x-as in het interval [a, b].

De integraalrekening is een onderdeel van de wiskunde, in het bijzonder van de analyse. Men gebruikt hierin integralen voor het berekenen van totalen, zoals de totale oppervlakte onder een grafiek, de totale verandering van een gegeven grootheid als voor elk moment de verandering per tijdseenheid gegeven is of het berekenen van de massa van een voorwerp als de dichtheid op elk punt gegeven is.

In het eenvoudigste intuïtieve geval berekent men met een bepaalde integraal van een functie de oppervlakte begrensd door de functie en de coördinaatas, tussen twee punten. De integraal van een functie f over een interval $[a, b]$ wordt genoteerd als

$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x$ .

Het resultaat is de oppervlakte S onder de grafiek.

De integraalrekening is verbonden met de differentiaalrekening door de begrippen van de afgeleide en de primitieve van een functie en door de twee hoofdstellingen van de infinitesimaalrekening, die zeggen dat differentiëren en integreren inverse bewerkingen zijn.

Het begrip kan uitgebreid worden naar complexere intervallen, naar integratie over meerdere veranderlijken, enz. Afhankelijk van de gebruikte functies kan de berekening van integralen een ingewikkeld probleem vormen, waarvoor diverse oplossingstechnieken zijn ontwikkeld.

[bewerk] Geschiedenis

De integraalrekening werd in de 17e eeuw ongeveer tegelijkertijd met de differentiaalrekening uitgevonden door Isaac Newton en Gottfried Leibniz.

De eerste toepassingen van de integraalrekening werden gevonden op het gebied van de mechanica. Het concept van de integraal is in de loop van de tijd op allerlei manieren gegeneraliseerd en toegepast op allerlei situaties.

De notatie met de "langgerekte S" werd door Leibniz geïntroduceerd. De integraal $\int_a^b f(x)\,dx$ wordt daarin gezien als een limiet van $\sum f(x)\Delta x$ ; het ∫-teken is de limietvorm van het sommatieteken en stelt de integratie voor, a en b zijn de eindpunten van het interval, f(x) is de functie die geïntegreerd wordt, en dx is de limiet van Δx en stelt een infinitesimaal klein stukje van de x-as voor. Historisch gezien stelde dx een infinitesimaal voor, en de langgerekte S betekende "som". Moderne theorieën zijn hier echter niet meer op gebaseerd en de traditionele symbolen zijn nu slechts een wiskundige notatie

[bewerk] Hoofdstelling van de integraalrekening

De hoofdstelling (of grondformule) van de integraalrekening legt een verband tussen een primitieve functie en de integraal.

Stel $f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}$ is continu en f is de afgeleide van F , dwz. $\,F'=f$ , dan is:

$\int_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)}$ .

[bewerk] Integratietechnieken

Gewoonlijk zal een primitieve functie niet op triviale wijze bepaald kunnen worden. Om primitieve functies te bepalen zijn er daarom een aantal technieken ter beschikking waarvan de belangrijkste hieronder vermeld staan. Ze hebben tot doel de integraal anders te schrijven, mogelijk te vereenvoudigen, zodat een primitieve functie gemakkelijker gevonden kan worden.

Zelfs wanneer het met deze technieken niet lukt, kan het toch mogelijk zijn om een bepaalde integraal te evalueren. Een veel gebruikte techniek voor bepaalde gevallen is residurekening. Via de Formule van Parseval kunnen sommige integralen in een eindige som worden omgezet. Dit wordt vooral bij berekeningen met Fouriertransformaties gebruikt. Soms kan een integraal zelfs door middel van een specifiek trucje worden gevonden, zoals de Gauss-integraal.

Lijst met standaard-integralen

[bewerk] Uitbreidingen

Het begrip integraal en de bijhorende integratietheorie blijft niet beperkt tot het eenvoudig geval van integratie van reële eendimensionale functies. Verschillende uitbreidingen zijn mogelijk, zoals integratie van complexe functies, integratie over andere intervallen en integratie in meerdere veranderlijken.

[bewerk] Oneigenlijke integralen

Zie het hoofdartikel Oneigenlijke integraal voor meer informatie

In principe is de Riemannintegraal enkel gedefinieerd voor eindige intervallen. In sommige gevallen zal het echter voorkomen dat we wensen te integreren over een oneindig interval. Een ander probleem kan zich stellen wanneer de te integreren functie een discontinuïteit vertoont in het beschouwde interval en er sprake is van een verticale asymptoot. Een manier om deze problemen aan te pakken bestaat er in om een limiet van de integraal te beschouwen. Een eenvoudig voorbeeld van zo'n integraal is:

$\int_0^{+\infty}\ {f(x)}\,dx\,$

[bewerk] Lijnintegralen

Zie het hoofdartikel lijnintegraal voor meer informatie

Het gebied waarover men integreert hoeft niet beperkt te blijven tot een ééndimensionele verzameling. Indien men integreert langs een kromme in een meerdimensionaal domein, dan spreken we van een lijnintegraal. Indien de kromme gesloten is, spreekt men van een contourintegraal of kringintegraal.

Lijnintegralen worden onder andere in het complexe vlak gedefinieerd. Stel dat $c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ een parameternotatie is van een gladde boog C, en $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ is een complexe functie waarbij $C\subset D$ , dan definieert men de complexe integraal van de functie f(z) langs de kromme C :

$\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt$

Ook in de vectorcalculus worden lijnintegralen berekend. Veronderstel een scalair veld f : Rⁿ → R, en een boog C, voorgesteld door de parameternotatie r(t) waarbij t ∈ [a, b], dan wordt de lijnintegraal gedefinieerd als

$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| dt.$

Een eenvoudige toepassing van deze formule bekomt men wanneer f = 1, men integreert dan immers over de volledige lengte van de kromme met de waarde 1: op die manier berekent men uiteindelijk de lengte van de kromme.

Op een analoge manier wordt dit voor een vectorveld F : Rⁿ → Rⁿ op dezelfde boog:

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

[bewerk] Meervoudige integralen

Zie het hoofdartikel Meervoudige integraal voor meer informatie

Het integratie-interval hoeft geen kromme te zijn met één veranderlijke parameter. Men kan ook integreren over meer variabelen, men integreert dan bijvoorbeeld over een oppervlak of een volume. Men spreekt dan van respectievelijk een oppervlakte-integraal en een volume-integraal. In het eenvoudige geval van een integraal van een functie f over een deel A van het xy-vlak krijgen we:

$\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ .

Deze integraal kan in sommige gevallen berekend worden als herhaling van twee eendimensionale integralen. Bijvoorbeeld als A een rechthoek is met zijden evenwijdig de assen:

$\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\ = \int_a^b \left( \int_c^d f\left(x,y\right) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y$ .

Indien er drie veranderlijken zijn spreekt men van een volume-integraal

$\iiint f\left(x,y,z\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\$

In de vectoranalyse leggen stellingen zoals de Stelling van Green en de divergentiestelling verbanden tussen verschillende soorten van deze integralen

[bewerk] Voorbeeld

Als voorbeeld berekenen we de oppervlakte tussen de x-as en de sinusfunctie op het interval [0,π]

Vermits de sinusfunctie continu is weten we uit de grondformule dat het volstaat een functie te vinden die als afgeleide sin(x) heeft. We weten dat de afgeleide van cos(x) gelijk is aan -sin(x), bijgevolg is -cos(x) een primitieve functie van sin(x). De rekenregels met betrekking tot het bepalen van primitieven laten we hier achterwege. We vinden dus volgend resultaat.

$\int_0^\pi {\sin \left( x \right)dx} = - \cos \left( \pi \right) - \left( { - \cos \left( 0 \right)} \right) = 1 + 1 = 2$

[bewerk] Formele definitie

Er zijn verschillende manieren om de integraal van een functie te definiëren. De gebruikelijkste zijn de Riemann- en de Lebesgue-integraal.

[bewerk] Riemannintegratie

Zie het hoofdartikel Riemannintegratie voor een grondigere definitie.

Riemannintegratie, ontwikkeld door Bernhard Riemann is het eenvoudigst te begrijpen. Bij Riemannintegratie van een functie wordt het interval [a,b] onderverdeeld in smalle deelintervallen. Men verdeelt als het ware de oppervlakte onder de grafiek in smalle rechthoekjes. Hoe smaller men deze rechthoekjes maakt, hoe beter de totale oppervlakte van al deze rechthoekjes samen de werkelijke oppervlakte benadert. Deze definitie sluit intuïtief ook aan bij de historische notaties van integralen. Men berekent in elk punt de oppervlakte van een rechthoekje door vermenigvuldiging van de hoogte f(x) met de breedte dx, en men sommeert dit over het volledig interval.

[bewerk] Lebesgue-integratie

Zie het hoofdartikel Lebesgue-integraal voor een grondiger definitie.

De Lebesgue-integratie werd door Henri Lebesgue gedefinieerd. Lebesgue-integratie is gedefinieerd door convergentie van functies en kan toegepast worden op functies waarvoor de Riemannintegraal niet gedefinieerd is. Wel is het zo dat wanneer de Riemannintegraal van een functie bestaat, de Lebesgue-integraal ook bestaat en gelijk is aan de Riemannintegraal.

[bewerk] Andere definities

Naast de Riemann- en Lebesgue-integralen bestaan nog een aantal andere integralen, waaronder:

De Daniell-integraal.
De Darboux-integraal, een variatie van de Riemannintegraal.
De Denjoy-integraal, ook bekend als Henstock-Kurzweil-integraal), een uitbreiding van zowel Riemann- als Lebesgue-integralen en de Perron-integraal.
De Haar-integraal.
De Henstock-Kurzweil-Stieltjes-integraal of HK-Stieltjes-integraal.
De Lebesgue-Stieltjes-integraal of Lebesgue-Radon integraal.
De Riemann-Stieltjes-integraal, een uitbreiding van de Riemannintegraal.

Zie ook

Categorie: Integraalrekening