Getaltheorie

Traditioneel is getaltheorie de tak van de zuivere wiskunde die de eigenschappen van de gehele getallen bestudeert. Meer algemeen is de term in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen die "gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen". Deze uitbreiding vond plaats toen de gebruikte technieken ook op andere problemen toepasbaar bleken.

Getaltheorie kan worden onderverdeeld in verschillende gebieden, afhankelijk van de gebruikte methoden en de onderzochte vraagstelling. Deze worden hieronder besproken.

[bewerk] Elementaire getaltheorie

In de elementaire getaltheorie worden de gehele getallen bestudeerd zonder de technieken uit andere takken van de wiskunde. Vragen die hieronder vallen zijn de deelbaarheid van getallen, het euclidische algoritme om de grootste gemene deler te berekenen, de ontbinding van getallen in priemfactoren, de hoofdstelling van de rekenkunde, het onderzoek van volmaakte getallen en modulair rekenen. Typische beweringen zijn de stelling van Fermat, de kleine stelling van Fermat, de stelling van Euler, de Chinese reststelling en de wet van de kwadratische reprociviteit. De eigenschappen van multiplicatieve functies zoals de Möbiusfunctie en Eulerfunctie worden onderzocht. Eveneens worden rijen van gehele getallen onderzocht zoals bijvoorbeeld de rij van Fibonacci.

Veel vragen in de elementaire getaltheorie zijn uitzonderlijk moeilijk. Het beantwoorden vereist een volledig nieuwe aanpak. Het heeft bijvoorbeeld 350 jaar geduurd voordat de laatste stelling van Fermat in 1993 bewezen werd, door Andrew Wiles. Voorbeelden van onopgeloste vraagstukken zijn:

het vermoeden van Goldbach: elke even getal kan geschreven worden als som van twee priemgetallen.
de vraag naar priemtweelingen: zijn er oneindig veel priemgetallenparen waarbij de twee priemgetallen slechts 2 verschillen?
het vermoeden van Collatz, een simpele iteratie.

De theorie van Diophantische vergelijkingen is bewezen onbeslisbaar te zijn. (zie ook Hilberts tiende probleem).

[bewerk] Analytische getaltheorie

De analytische getaltheorie gebruikt het instrumentarium van de analyse en complexe analyse om eigenschappen van gehele getallen te onderzoeken. De priemgetalstelling en de eraan verwante hypothese van Riemann zijn hier voorbeelden van. Veel problemen uit de elementaire getaltheorie worden met methoden uit de analytische getaltheorie aangepakt. Voorbeelden zijn het probleem van Waring, de bovengenoemde vraag naar tweelingpriemgetallen en de het vermoeden van Goldbach. Vraagstukken over transcendentie van getallen als van π en e (grondtal van de natuurlijke logaritme) vallen ook onder de analytische getaltheorie. (Merk overigens op dat het in het laatste voorbeeld niet meer over de eenvoudige natuurlijke getallen gaat.)

[bewerk] Algebraïsche getaltheorie

In de algebraïsche getaltheorie wordt het begrip getal uitgebreid met de algebraïsche getallen, dat zijn de nulpunten van polynomen met rationale coëfficiënten.

Veel getaltheoretische vragen kunnen het best bestudeerd worden modulo p, voor alle priemgetallen p. Dit proces wordt lokalisatie genoemd en leidt tot de constructie van de p-adische getallen. Dit veld wordt de lokale analyse genoemd en komt voort uit de algebraïsche getaltheorie.

[bewerk] Meetkundige getaltheorie

De Meetkundige getaltheorie omvat alle vormen van meetkunde. Het begint met de stelling van Minkowski over roosterpunten in convexe verzamelingen. De beroemde Laatste stelling van Fermat werd met deze technieken bewezen.

[bewerk] Numerieke getaltheorie

Ten slotte is er de numerieke getaltheorie die onderzoek doet naar snelle algoritmen voor het testen van priemgetallen en het ontbinden in factoren. Deze studie heeft belangrijke toepassingen in de cryptografie.