Integratie door substitutie

In de integraalrekening is substitutie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. Het is een van de meest gebruikte technieken om primitieve functies te vinden en volgt uit de kettingregel voor afgeleiden. Eerst volgt de formele regel, daarna verduidelijkende voorbeelden.

[bewerk] Substitutieregel

Onderstel $f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}$ continu en een functie $\varphi :\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to \left[ {a,b} \right]$ die bijectief en differentieerbaar is met $\varphi \left( \alpha \right) = a$ en $\varphi \left( \beta \right) = b$ , dan geldt:

$\int_a^b {f\left( x \right)dx} = \int_\alpha ^\beta {f\left( {\varphi \left( t \right)} \right)\varphi '\left( t \right)dt}$

Dit is makkelijk te zien als we $x = \varphi \left( t \right)$ stellen, dan is $\frac{{dx}} {{dt}} = \varphi '\left( t \right) \Leftrightarrow dx = \varphi '\left( t \right)dt$

Beide leden zijn uiteraard equivalent: het linkerlid is door de grondformule van de integraalrekening gelijk aan $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ . Uit de kettingregel volgt nu direct dat $\left( {F \circ \varphi } \right)^\prime \left( t \right) = f\left( {\varphi \left( t \right)} \right)\varphi '\left( t \right)$ en dus is het rechterlid eveneens gelijk aan $\left( {F \circ \varphi } \right)\left( \beta \right) - \left( {F \circ \varphi } \right)\left( \alpha \right) = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Opmerking: De bovenstaande formule kan in beide richtingen gebruikt worden. Onderstaande voorbeelden maken een en ander duidelijk.

[bewerk] Klassieke substituties

Voorbeeld 1

We weten dat $\int {\sin \left( x \right)dx = - \cos \left( x \right) + C}$ . Maar stel dat we $\int {\sin \left( {3x - 2} \right)dx}$ zoeken, dan kunnen we substitutie toepassen:

Stel $\left( {3x - 2} \right) = y \Leftrightarrow d\left( {3x - 2} \right) = dy \Leftrightarrow 3dx = dy \Leftrightarrow dx = \frac{1}{3}dy$ . Dan krijgen we:

$\int {\sin \left( {3x - 2} \right)dx} = \frac{1}{3}\int {\sin \left( y \right)dy} = \frac{{ - \cos \left( y \right)}}{3} + C = \frac{{ - \cos \left( {3x - 2} \right)}}{3} + C$

Voorbeeld 2

Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:

$\int {\sin ^3 \left( x \right)dx} = \int {\sin ^2 \left( x \right)\sin \left( x \right)dx} = \int {\left( {1 - \cos ^2 \left( x \right)} \right)\sin \left( x \right)dx}$

Stel $y = \cos \left( x \right) \Leftrightarrow dy = - \sin \left( x \right)dx$ . De integraal wordt dan:

$- \int {1 - y^2 dy} = \frac{{y^3 }}{3} - y + C = \frac{{\cos ^3 \left( x \right)}}{3} - \cos \left( x \right) + C$

Voorbeeld 3

Tenslotte een voorbeeld van een bepaalde integraal, hier is het belangrijk ook de grenzen aan te passen.

$\int_0^2 {x e^{x^2 } } dx$ .

Substitutie: stel $x^2 = y \Leftrightarrow 2xdx = dy \Leftrightarrow xdx = 0.5dy$ .
Grenzen aanpassen: $x = 0 \Rightarrow y = 0\,\, \wedge \,\,x = 2 \Rightarrow y = 4$

$\frac{1}{2}\int_0^4 {e^y } dy = \frac{1}{2}\left[ {e^y } \right]_0^4 = \frac{1}{2}\left( {e^4 - e^0 } \right) = \frac{{e^4 - 1}}{2}$

In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij bepaald integreren niet nodig achteraf terug te substitueren.

[bewerk] Goniometrische substituties

Bij goniometrische substituties voeren we een goniometrische functie in. Dit kan helpen bij het integreren van onder meer wortelvormen zoals $\sqrt {x^2 - a^2 }$ , $\sqrt {a^2 - x^2}$ en $\sqrt {x^2 + a^2 }$ . Hierbij maken we gebruik van (onder andere) volgende goniometrische identiteiten:

$1-\sin^2\alpha\equiv\cos^2\alpha$

$1+\tan^2\alpha\equiv\sec^2\alpha$

$\sec^2\alpha-1\equiv\tan^2\alpha$

Voorbeeld

Een klassieker is $\int {\sqrt {1 - x^2 } dx}$

Substitutie: stel x = sin(y) <=> dx = cos(y)dy. We vinden:

$\int {\sqrt {1 - \sin ^2 \left( y \right)} \cos \left( y \right)dy} = \int {\sqrt {\cos ^2 \left( y \right)} \cos \left( y \right)dy} = \int {\cos ^2 \left( y \right)dy}$

We gebruiken nu dat cos(2a) = 2cos²(a)-1 <=> cos² = (1+cos(2a))/2:

$\int {\frac{{1 + \cos \left( {2y} \right)}}{2}dy} = \frac{1}{2}\int {dy} + \frac{1}{4}\int {\cos \left( {2y} \right)d\left( {2y} \right)} = \frac{y}{2} + \frac{{\sin \left( {2y} \right)}}{4} + C$

Tenslotte terug substitueren, wetend dat sin(y) = x <=> y = arcsin(x):

$\frac{y}{2} + \frac{{2\sin \left( y \right)\cos \left( y \right)}}{4} + C = \frac{{\arcsin \left( x \right)}}{2} + \frac{{x\sqrt {1 - x^2 } }}{2} + C$

Categorie: Integraalrekening

Integratie door substitutie

[bewerk] Substitutieregel

[bewerk] Klassieke substituties

[bewerk] Goniometrische substituties

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen