Perfect getal

Een perfect getal of volmaakt getal is een getal dat gelijk is aan de som van zijn delers (buiten zichzelf), 1 wordt als deler meegerekend.

Perfect getal	Som van zijn delers	Euclides
6	1 + 2 + 3	2¹(2²−1)
28	1 + 2 + 4 + 7 + 14	2²(2³−1)
496	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248	2⁴(2⁵−1)
8128	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064	2⁶(2⁷−1)

Er is een aardig verband tussen perfecte getallen en een speciaal soort priemgetallen, de Mersenne priemgetallen. Mersenne priemgetallen zijn priemgetallen van de vorm 2ⁿ−1, waarbij n een priemgetal is. Er geldt namelijk dat als 2ⁿ−1 een priemgetal is, dat dan 2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1) een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder (in ieder geval even) perfect getal kan geschreven worden als 2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1) waarbij n een priemgetal is en 2ⁿ−1 een Mersenne priem.

Bijvoorbeeld: voor n = 3 geldt dat 2ⁿ−1 = 2³−1 = 7 een priemgetal is.
2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1) wordt dan 2²×(2³−1) = 4 × 7 = 28 is een perfect getal.

Momenteel is nog onbekend of er ook oneven perfecte getallen bestaan. Tot nu (eind 2003) is er nog geen gevonden. Wel is al zeker dat als er een oneven perfect getal is, dit groter dan 10³⁰⁰ moet zijn. Het moet ook minstens 8 verschillende priemfactoren hebben, zelfs minstens 11 als het niet deelbaar is door 3. Een van de priemfactoren moet groter zijn dan 10⁷, twee groter dan 10⁴ en drie groter dan 100.

[bewerk] Geschiedenis van perfecte getallen

Vermoedelijk maakten de oude Egyptenaren al studies van perfecte getallen. Het is bekend dat Pythagoras zich bezig hield met perfecte getallen. Perfecte getallen hadden in die tijd een religieuze status. In de beginjaren van het christendom bijvoorbeeld was er een theorie dat de getallen 6 en 28 door God gekozen waren als perfecte getallen: 6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen en 28 het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait. De heilige Augustinus (354-430) schreef ooit: Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.

Nicomachus van Gerasa kwam rond het jaar 100 met de volgende vijf stellingen, zonder deze overigens te bewijzen (inmiddels is bekend dat stelling 1 en 3 onjuist zijn):

Het n-de perfecte getal heeft n cijfers
Alle perfecte getallen zijn even
Alle perfecte getallen eindigen alternerend op 6 en 8
Perfecte getallen zijn te schrijven als 2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1) als 2ⁿ−1 een priem is (zie ook boven)
Er is een oneindig aantal perfecte getallen

Deze stellingen zijn in Europa eeuwenlang voor waar aangenomen. De Europeanen hadden geen weet van het wiskundig onderzoek in de Arabische landen, onder andere door Ibn al-Haytham en Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus. De laatste wiskundige vond in het begin van de 13e eeuw de eerste zeven perfecte getallen, maar zijn werk werd pas eeuwen later in Europa ontdekt. De vierde stelling van Nicomachus werd in Europa zelfs veralgemeend tot: Perfecte getallen zijn te schrijven als 2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1) voor alle oneven getallen n. In 1536 bewees Hudalrichus Regius dat deze veralgemening niet klopte voor n=11: 2¹¹⁻¹×(2¹¹−1) is geen perfect getal. Ook bewees hij dat 2¹³⁻¹×(2¹³−1) = 33.550.336 het vijfde perfecte getal is. Hiermee was meteen het ongelijk van de eerste stelling van Nicomachus bewezen: het vijfde perfecte getal heeft een lengte van acht cijfers. In 1603 vond Cataldi het zesde perfecte getal 2¹⁷⁻¹×(2¹⁷−1) = 8.589.869.056. Hiermee was bewezen dat de derde stelling van Nicomachus niet klopte, aangezien zowel het vijfde als het zesde perfecte getal op een zes eindigen. Cataldi vond ook het zevende perfecte getal 2¹⁹⁻¹×(2¹⁹−1) = 137.438.691.328. Cataldi claimde nog een viertal andere perfecte getallen gevonden te hebben, maar later werd aangetoond dat slechts één van deze vier getallen juist was.