미분
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미분(微分)은 어떠한 함수의 기울기를 나타내는 함수를 말한다. 이것은 적분과 함께 미적분학의 기본적인 개념을 이룬다.
미분의 가장 단순한 형태는 단순한 실변수의 실수값 함수의 미분이다. 이것의 설명은 다음과 같다.
- 미분은 한 점에서, 함수의 그래프의 접선의 기울기로 주어진다. 이렇게 하여 미분은 볼록성 또는 오목성처럼, 그래프의 기하학적 속성을 결정하는 데 사용될 수 있다.
- 미분은 변화율의 수학적 형식화를 제공한다. : 그것은 함수의 편각 변화에 대응하는 함수값 변화에 대한 비율을 측정함으로써 얻어진다.
미분의 개념은 변수가 하나인 함수뿐만 아니라 변수가 여럿인 함수에도 확장할 수 있다. 또한 벡터, 미분기하학과 같은 범위에도 일반화할 수 있다.
[편집] 미분법과 미분가능성
물리학 용어에서, 미분법은 함수관계를 갖는 x의 변화에 대한 y의 변화율로 표현된다.
양에서의 변화를 나타내는 기호 Δ를 사용하면, 이 변화율은 Δx가 0에 접급할 때 미분계수의 극한으로 정의된다.
미분에 대한 라이프니츠의 표기법에 의하면 x에 관한 y의 미분은 다음과 같이 두 개의 무한소 양의 비로 표시된다.
근대에서 미분은 함수에 대한 수치 연산으로 정의되며, 엄밀한 정의는 다음과 같다.
이 정의는 아래에서 더 자세히 다루어진다. 만일 f가 함수라면, 값 x에 대한 함수 f의 미분은 다음과 같은 여러 방법으로 쓸 수 있다:
- f'(x)
만일 어느 점 x에서 도함수가 존재한다면 그 함수는 미분 가능하다. 구간 내의 모든 "x"에 대해 미분가능하다면 그 함수는 구간상에서 미분 가능하다.; 만일 어느 함수가 x에서 연속이 아니면, 접선이 없기 때문에 그 함수는 x에서 미분 가능하지 않다.; 그러나, x에서 함수가 연속일지라도 미분가능하지 않을 수도 있다.
바꾸어 말하면, 미분가능성은 연속성을 함축하고 있다. 그러나 반드시 그 역도 성립하는 것은 아니다. 그런 함수의 유명한 예의 하나인 바이어슈트라스 함수는 어느 곳에서나 연속이지만 어디에서도 미분가능하지 않다.
미분가능한 함수의 미분은 그 스스로 미분가능하다. 미분의 미분은 2계 미분이라고 부른다. 이런 방법으로 2계 미분의 미분은 3계 미분이라고 하고, 이런 식으로 계속된다. 즉 도함수의 도함수를 2계도 함수, 그 함수의 도함수를 또 3계도 함수라고 부르는 것이다.
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