곱셈 법칙

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곱셈 법칙은 두 함수의 곱을 미분하는 경우에 대한 법칙으로, 라이프니츠 법칙이라고도 한다.

두 함수를 $f$ , $g$ 라고 했을 때 두 함수를 곱한 $f g$ 를 미분한 결과는

(f g)' = f' g + f g'

가 된다.

[편집] 증명

함수 f를 $f (x) = g (x) h (x)$ 로 정의한다. 이 때 $f'(x)$ 를 도함수의 정의에 따라 구하면,

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)$

여기에서 $h (x)$ 는 $x$ 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

$\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)$

따라서 다음의 결과가 나온다.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]$

$= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]$