리만 합

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수학에서, 리만 합은 적분의 값을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 또한 새로운 적분 연산을 정의하기 위해 사용되기도 한다. 이 이름은 베른하르트 리만을 따서 붙여졌다.

[편집] 정의

실수의 부분집합 D에서 정의되는 함수 f: D → R를 생각하자. 그리고 I=[a, b]인 닫힌 구간이 D 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {x₀, x₁, x₂, ... x_n}은 a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b이고 I안에 들어있는 다음의 분할(영어: partition)을 생성한다. :

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

만약 P가 I의 n 개의 원소들을 가지는 분할이라면, I 상에서 분할 P를 가지는 f의 리만 합은 다음과 같이 정의된다. :

$S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})$

여기서 x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i이며, 구간 내에서 y_i의 선택은 임의적이다. 모든 i에 대하여 y_i = x_i라면 S는 오른쪽 리만 합으로, y_i = x_i-1라면 왼쪽 리만 합, y_i = (x_i+x_i-1)/2라면 가운데 리만 합으로 각각 불리운다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 사다리꼴 합(영어: Trapezoidal sum)이라고 불리는 것과 같다.

우리가 다음 식을 가지고 있다고 하자. :

$S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})$

여기서, v_i는 [x_i-1, x_i]에서 f의 최소 상한이다. 그러면 S는 위쪽 리만 합으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, v_i가 [x_i-1, x_i]에서 f의 최대 하한이라면 S는 아래쪽 리만 합이다.

주어진 분할(x_i-1과 x_i 사이에서 임의로 선택한 y_i)을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 리만 적분 가능으로 정의된다. 이 사실은 수치 적분에 사용된다.

[편집] 방법들

위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, [a, b]는 n개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 Q=(b-a)/n이다. 따라서 각 분할의 점들은