Varietà (geometria)

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In geometria, una varietà è un concetto abbastanza generale definito con lo scopo di modellizzare "spazi a più dimensioni", eventualmente curvi, che "visti con una lente di ingrandimento" sembrano piatti e simili allo spazio euclideo, ma che visti globalmente possono assumere le forme più svariate.

Esempi di varietà sono le curve e le superfici. L'universo è intuitivamente un esempio di varietà tridimensionale. La relatività generale descrive lo spaziotempo come una varietà con 4 dimensioni.

Indice

1 Quale nozione di varietà
2 Varietà topologica
- 2.1 Definizione formale
- 2.2 Esempi
  - 2.2.1 Dimensioni basse
  - 2.2.2 Le sfere
3 Varietà differenziabile
4 Varietà complessa
5 Varietà algebrica
- 5.1 Varietà affine
- 5.2 Varietà proiettiva
6 Voci correlate

[modifica] Quale nozione di varietà

L'idea di "spazio a più dimensioni" è descritta e studiata in vari modi differenti, fra loro correlati. Usando gli strumenti della topologia, del calcolo infinitesimale, dell'analisi complessa e dell'algebra si arriva rispettivamente ai concetti di varietà topologica, varietà differenziabile, varietà complessa e varietà algebrica.

Concetti più raffinati come quello di curvatura vengono definiti nell'ambito della geometria differenziale, e portano ad esempio alla nozione di varietà riemanniana.

[modifica] Varietà topologica

la circonferenza è una varietà topologica di dimensione 1. Qui è descritto un atlante con quattro carte: ciascuna è un omeomorfismo fra un aperto ed un intervallo aperto di $\mathbb R$

La varietà topologica modellizza uno spazio $n$ -dimensionale dal punto di vista topologico: si definiscono quindi solo le proprietà di base dello spazio, che ne caratterizzano esclusivamente la forma.

[modifica] Definizione formale

Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico $X$ in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo $n$ -dimensionale $\R^n$ . Il numero $n$ è la dimensione della varietà.

Un omeomorfismo fra un aperto di $X$ e un aperto di $\R^n$ è detto una carta. Quindi $X$ è una varietà topologica se esiste un insieme di carte che ricoprono tutto $X$ . Un insieme di carte di questo tipo è un atlante. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con gli atlanti planetari: infatti la superficie della Terra non è descrivibile interamente su un foglio (cioè, non è omeomorfa ad un aperto di $\R^2$ ) però è possibile descriverla "a pezzi", tramite un certo numero di carte geografiche, ciascuna delle quali descrive solo una zona della superficie: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi Nord e Sud.

Una varietà di dimensione $n$ è spesso chiamata brevemente $n$ -varietà.

[modifica] Esempi

La bottiglia di Klein: ogni "quadratino" è contenuto in una carta bidimensionale.

[modifica] Dimensioni basse

Esistono praticamente solo due varietà topologiche di dimensione 1, la circonferenza e la retta: ogni altra varietà di dimensione 1 è infatti omeomorfa a una di queste due. Le varietà di dimensione 2, chiamate superfici, sono invece infinite e più variegate. Tra queste troviamo ad esempio già molti esempi notevoli dal punto di vista topologico: la sfera, il toro, il nastro di Möbius, la bottiglia di Klein.

La bottiglia di Klein è un esempio importante: benché sia "localmente" un oggetto bidimensionale, non è realizzabile "globalmente" come sottoinsieme né del piano né dello spazio (ma è realizzabile dentro lo spazio $\R^4$ quadri-dimensionale!).

Una varietà di dimensione 3 intuitivamente è un oggetto che "potrebbe essere" l'universo in cui viviamo. Le 3-varietà non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio è una branca importante della topologia. La congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, è stato un importante problema irrisolto per più di un secolo, riguardante proprio questo ambito.

Una varietà di dimensione 4 è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla fisica teorica: la relatività generale descrive infatti lo spaziotempo come una 4-varietà.

[modifica] Le sfere

In una sfera, ogni emisfero è contenuto in una carta.

Una sfera di dimensione $n$ arbitraria è sempre una varietà $n$ -dimensionale. Una sfera è definita come il luogo degli punti in $\R^{n+1}$ che soddisfano l'equazione

$x_0^2 + x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1,$

e gli emisferi nord e sud sono i sottoinsiemi in cui rispettivamente $x_0 \geq 0$ e $x_0 \leq 0$ . La proiezione stereografica descrive due carte, ciascuna contenente uno dei due emisferi.

[modifica] Varietà differenziabile

Per approfondire, vedi la voce varietà differenziabile.

Una varietà differenziabile è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti del calcolo infinitesimale. Grazie a questi strumenti è possibile parlare di spazio tangente, campo vettoriale, funzione differenziabile, di forma differenziale, etc.

Una varietà differenziabile è definita come una varietà topologica, le cui funzioni di transizione sono però differenziabili (e non solamente continue come nel caso topologico).

[modifica] Varietà complessa

Una varietà complessa è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'analisi complessa: la varietà complessa è cioè l'analogo complesso della varietà differenziabile.

Una varietà complessa è definita come una varietà topologica di dimensione $2 n$ , le cui funzioni di transizione, viste come mappe fra aperti di $\mathbb{C}^n$ tramite l'identificazione naturale di $\R^{2n}$ con $\mathbb{C}^n$ , sono però analitiche.

Poiché le funzioni analitiche sono differenziabili, una varietà complessa ha anche una struttura di varietà differenziabile.

[modifica] Varietà algebrica

Per approfondire, vedi la voce Varietà algebrica.

La varietà algebrica è definita con tecniche diverse da quelle usate per le varietà topologica, differenziale o complessa. Questa distinzione è evidente in inglese, ove i nomi variety e manifold sono usati rispettivamente per le varietà algebriche e quelle topologiche, differenziali o complesse.

Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l'insieme degli zeri di uno o più polinomi con $n$ variabili in $K n$ , dove $K$ è un campo fissato, come ad esempio il campo dei numeri reali o complessi. Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le varietà affini e le varietà proiettive.

Varietà affini in $\R^2$ definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due circonferenze, una parabola, una iperbole, una cubica (definita da un'equazione di terzo grado).

[modifica] Varietà affine

Per approfondire, vedi la voce varietà affine.

Una varietà affine è un sottoinsieme $V$ di $K n$ che è il luogo di zeri di un insieme $S$ di polinomi in $n$ variabili. In altre parole, $V$ è l'insieme dei punti su cui si annullano contemporaneamente tutti i polinomi in $S$ , cioè $S$ è l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali. Generalmente si indica $V = V (S)$ per rimarcare la dipendenza di $V$ dall'insieme $S$ .

I polinomi in $S$ non devono necessariamente essere in numero finito. Se $I (S)$ è l'ideale generato da $S$ , risulta che $V (S) = V (I (S))$ : quindi ogni varietà è in verità il luogo di zeri di un ideale di polinomi. L'importanza degli ideali nella teoria degli anelli discende proprio da questo fatto.

[modifica] Varietà proiettiva

Una varietà proiettiva è un sottoinsieme $V$ dello spazio proiettivo $P n (K)$ , definito analogamente alla varietà affine come luogo di zeri di un insieme $S$ di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno $n + 1$ variabili, e poiché le coordinate omogenee di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere omogenei affinché le equazioni abbiano senso.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Varietà geometriche