Varietà affine
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In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine n-dimensionale su un campo algebricamente chiuso k caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di ![k[x_1, \dots, x_n]](../../../math/0/e/5/0e5faffda55ea8da5ff04631b8fe59d7.png)
. Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.
[modifica] Morfismi tra varietà affini
Una funzione regolare per una varietà affine X è una funzione 
tale che per ogni punto 
esiste un intorno del punto in cui f(x) = g(x) / h(x), dove ![g, h \in k[x_1, \dots, x_n]](../../../math/a/c/2/ac2e3be2420e5bdbb072d1a6364a2cf0.png)
. L'insieme di tutte le funzioni regolari su X è l'anello 
.
Un morfismo tra due varietà è una funzione 
che induce un morfismo di anelli 
.
[modifica] Algebra affine
Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale I(X) generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine X come la k-algebra finitamente generata ![A(X) = k[x_1, \dots, x_n] / I(X)](../../../math/7/d/c/7dc2ef4eb318a7efb8394d866e940465.png)
.
Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo φ il morfismo 
, si ottiene un funtore contravariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle k-algebre finitamente generate.
[modifica] Esempi
- Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
- Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se
o 
. - Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.
