Teorema di Huygens-Steiner

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Teorema e figura

Il teorema di Huygens-Steiner (o teorema degli assi paralleli) ci permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

[modifica] Definizione

Il momento rispetto ad un asse parallelo si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa del solido, il prodotto tra la sua massa e la distanza tra l'asse precedente e quello di rotazione al quadrato.

[modifica] Dimostrazione

Figura per la dimostrazione

Si prenda un sistema di riferimento 0xy con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse x di una certa quantità, in modo che le coordinate siano $y = y'$ e $x = x' + d$ , dove d è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si prenda un elemento infinitesimo dm, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da $d I = R 2 d m$ . Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento ( $R 2 = x 2 + y 2$ ) si ha che

$I_{cm} = \int (x^{2} + y^{2}) dm$ .

Ora verrà calcolato direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse z. Per calcolarlo si prenda un elemento dm e si consideri il sistema di rif. traslato; poiché $R' 2 = x' 2 + y' 2$ , applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

$I_z = \int (x'^{2} + y'^{2}) dm = \int [(x-d)^{2} + y^{2}] dm$ .

Sviluppando il quadrato si ottiene $I_z = \int [x^{2} + d^{2} -2xd + y^{2}] dm$ e, raccogliendo, si ha

$I_z = \int [x^{2} + y^{2}]dm + d^{2} \int dm - 2d \int x dm$ .

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa $I c m$ , calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità $M d 2$ , mentre il terzo termine è nullo, poiché x è l'ascissa del centro di massa che - essendo sull'origine - è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

I z = I c m + M d 2

[modifica] Voci correlate

Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogenei

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