Matrice antisimmetrica

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In matematica una matrice antisimmetrica (o emisimmetrica) è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta. Una tale matrice A soddista dunque l'equazione:

$A^T \,=\, -A$

o, in termini di componenti, se A = (a_i,j):

a_i,j = − a_j,i per ogni i e j .

Per esempio, è antisimmetrica la seguente matrice:

$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{bmatrix}$

[modifica] Proprietà

Tutte le entrate sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica devono essere uguali a zero; quindi anche la sua traccia è zero.

Sia A una matrice antisimmetrica n× n. Il determinante di A soddisfa la

det(A) = det(A^T) = det(−A) = (−1)ⁿdet(A).

In particolare, se n è dispari il determinante è zero. Il caso pari-dimensionale è più interessante; per questo caso si trova che il determinante di A può essere scritto come il quadrato di un polinomio nelle entrate di A:

det(A) = Pf(A)² .

Questo polinomio è denotato Pf(A) e chiamato pfaffiano di A. Quindi il determinante di una matrice reale antisimmetrica è sempre non-negativo.

[modifica] Teoria spettrale

Gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie ±λ, eccetto nel caso dispari-dimensionale nel quale alle suddette coppie si aggiunge un autovalore 0. Per una matrice reale antisimmetrica gli autovalori sono tutti immaginari puri e quindi sono della forma iλ₁, −iλ₁, iλ₂, −iλ₂, … , dove ogni λ_k è reale.

Le matrici antisimmetriche rientrano nella categoria delle matrici normali e di conseguenza sono soggette al teorema spettrale, il quale afferma che ogni matrice reale o complessa antisimmetrica può essere diagonalizzata da una matrice unitaria. Quindi se gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono complessi non è possibile diagonalizzare tale matrice con una matrice reale. Comunque, è possibile portare ogni matrice antisimmetrica ad un blocco diagonale formato da una trasformazione ortogonale. Specificamente, ogni matrice antisimmetrica 2r × 2r può essere scritta nella forma A = R Σ R^T dove R è ortogonale e

$\Sigma = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \end{bmatrix}$

con ogni λ_k reale. Gli autovalori di questa matrice sono ±iλ_k. Nel caso dispari-dimensionale Σ ha una riga e una colonna di zeri aggiuntive.

[modifica] Forme alternanti

Una forma alternante φ su uno spazio vettoriale V sopra un campo K è definita (se K non ha caratteristica 2) dall'essere una forma bilineare

φ : V × V → K tale che φ(v,w) = −φ(w,v) .

Quando φ viene rappresentata da una matrice antisimmetrica, risulta scelta una base di V; viceversa una matrice antisimmetrica A n×n dà origine ad una forma alternante su Kⁿ, x^TAx.

[modifica] Rotazioni infinitesimali

Le matrici antisimmetriche n× n formano uno spazio vettoriale di dimensione n(n − 1)/2. Questo è lo spazio tangente al gruppo ortogonale O(n) nella matrice identità. Con questo significato, allora, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da rotazioni infinitesimali.

Un enunciato equivalente al precedente consiste nel dire che lo spazio delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie o(n) del gruppo di Lie O(n). La parentesi di Lie sullo spazio è data dal commutatore:

$[A,B] \,=\, AB - BA ~.$

Per questo si verifica facilmente che il commutatore di due matrici antisimmetriche è ancora antisimmetrica.

La matrice esponenziale di una matrice antisimmetrica A è quindi una matrice ortogonale R:

$R=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} ~.$

Quindi l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova sempre nella componente connessa di O(n) (che è denotata con SO(n)) e ogni rotazione R ha determinante uguale a +1. Da questo segue che ogni matrice ortogonale con determinante unità può essere scritta come l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.