Gruppo di Lie

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Un gruppo di Lie è un gruppo G munito di una struttura di varietà differenziabile compatibile con l'operazione binaria del gruppo, cioè tale per cui le applicazioni

(a,b) → a·b del tipo G X G → G ,
a → a^-1 del tipo G → G

sono differenziabili.

Indice

1 Omomorfismi e categoria dei gruppi di Lie
2 Classificazioni dei gruppi di Lie
3 L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie
4 I gruppi di Lie reali come varietà topologiche
5 Voci correlate

[modifica] Omomorfismi e categoria dei gruppi di Lie

Dati due gruppi di Lie G e H, un morfismo di gruppi di Lie è un omomorfismo differenziabile, vale a dire un'applicazione f:G → H che sia un omomorfismo per la struttura astratta di gruppo (f(ab) = f(a)f(b)) e un'applicazione differenziabile per la struttura di varietà di G e H. I gruppi di Lie con i loro morfismi costituiscono una categoria.

[modifica] Classificazioni dei gruppi di Lie

I gruppi di Lie possono essere classificati in relazione a diversi generi di proprietà.

Proprietà algebriche: (semplice, semisemplice, solubile, nilpotente, abeliano);
proprietà di connessione: gruppi connessi o gruppi semplicemente connessi;
proprietà di compattezza.

[modifica] L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie

Ad ogni gruppo di Lie si può associare un'algebra di Lie che è in grado di esprimere interamente la struttura locale del gruppo. La relazione gruppo - algebra non riguarda invece le caratterische globali, come connessione o semplice connessione, diversi gruppi di Lie possono quindi avere la stessa algebra; in particolare, esiste un teorema che stabilisce che due gruppi di Lie finito dimensionali localmente isomorfi hanno algebre di Lie isomorfe, quindi identificabili.

Lo studio delle proprietà e la classificazione delle algebre di Lie è molto più agevole rispetto all'analogo studio dei gruppi, per questo risultano molto utili una serie di teoremi che permettono di mettere in relazione le proprietà delle algebre a quelle dei gruppi corrispondenti. La relazione tra algebre e gruppi di Lie può essere vista come funtore tra categorie.

[modifica] I gruppi di Lie reali come varietà topologiche

I gruppi di Lie reali si possono definire come varietà topologiche munite delle operazioni di gruppo continuo. L'equivalenza di questa definizione con quella data sopra costituisce una interpretazione del quinto problema di Hilbert (si veda però anche congettura di Hilbert-Smith).

Un preciso enunciato su tale equivalenza è il seguente:
Se G è una varietà topologica munita delle operazioni di gruppo continuo, allora esiste esattamente una struttura differenziabile su G che fa di esso un gruppo di Lie secondo la definizione data inizialmente.

Questo teorema è stato dimostrato da Andrew Gleason, Deane Montgomery e Leo Zippin negli anni 1950.

Come conseguenza si possono definire i gruppi di Lie ricorrendo alle funzioni lisce: questo è l'approccio ora prevalente nei testi introduttivi ai gruppi di Lie.