ฟังก์ชันต่อเนื่อง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

ตัวอย่างเช่น ให้ฟังก์ชัน $h (t)$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา $t$ ไปยังความสูงของต้นไม้ที่เวลานั้น เราได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน $T (x)$ ที่ส่งความสูง $x$ ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มีความสูง $x$ เหนือจุดพิกัดทางภูมิศาสตร์จุดหนึ่ง ในทางกลับกัน ถ้า $M (t)$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา $t$ ไปยังจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีธนาคาร เราได้ว่า $M$ ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงแบบก้าวกระโดดเมื่อมีการฝากเงินหรือถอนเงินเข้าหรือออกจากบัญชี

ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีลำดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

สารบัญ

1 ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง
- 1.1 นิยามเอปซีลอน-เดลตา
- 1.2 ตัวอย่าง
2 ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิอิงระยะทาง
3 ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

[แก้] ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง

สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งช่วงช่วงหนึ่งของจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ดังเช่นฟังก์ชัน $h$ , $T$ , และ $M$ ข้างต้น ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนแทนด้วยกราฟของฟังก์ชันบนระนาบคาร์ทีเซียน เราอาจกล่าวโดยหยาบๆ ว่าฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นที่ไม่มีจุดแหว่งหรือการก้าวกระโดด กล่าวคือ เราสามารถเขียนกราฟได้โดยไม่ต้องยกปากกา

ถ้าจะกล่าวให้รัดกุมตามหลักคณิตศาสตร์แล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องที่จุด $c$ ถ้าเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง

ฟังก์ชัน $f$ มีนิยามที่จุด $c$
ให้ $c$ เป็นจุดลิมิตของโดเมนของ $f$ แล้ว ลิมิตของ $f (x)$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ มีค่าเท่ากับ $f (c)$

เรากล่าวว่าฟังก์ชัน $f$ ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ หรือเรียกย่อๆ ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า $f$ ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน

[แก้] นิยามเอปซีลอน-เดลตา

[แก้] ตัวอย่าง

ทุก ๆ โพลีโนเมียลฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ทุก ๆ ฟังก์ชันเศษส่วน ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิธึม ฟังก์ชันรากที่ n ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (บนโดเมนที่หาค่าฟังก์ชันได้)
ทุก ๆ ฟังก์ชันขั้นบันได เช่น ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น 1 เมื่อ x > 0 นอกนั้นฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 1, เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
ฟังก์ชันดิริชเลต์ (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันข้าวโพดคั่ว) เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

[แก้] ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิอิงระยะทาง

ส่วนนี้ของบทความยังไม่สมบูรณ์ คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มเติมเนื้อหาในส่วนนี้

[แก้] ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถขยายให้กว้างขึ้น เพื่อให้ครอบคลุมฟังก์ชันระหว่างปริภูมิทอพอโลยี $X, Y$ ได้ดังนี้:

$f: X \to Y \mbox{ is continuous iff } \forall V \subseteq Y \mbox{ s.t. } V \mbox{ is an open set}, f^{-1}(V) \mbox{ is open in } X$ .

อนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าในปริภูมิยุคลิด นิยามข้างต้นและนิยามเอปซีลอน-เดลตาเหมือนกันทุกประการ. จากนิยามนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ทราบแก่นที่แท้จริงของความต่อเนื่องคือ การนิยามเซตเปิดในระบบนั่นเอง ไม่ใช่ฟังก์ชันระยะทางดังที่เคยเข้าใจมา

ฟังก์ชันต่อเนื่อง เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น

ข้อมูลเกี่ยวกับ ฟังก์ชันต่อเนื่อง ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%9F/%E0%B8%B1/%E0%B8%87/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87.html".

หมวดหมู่: บทความที่เนื้อหาบางส่วนรอเพิ่มเติม | บทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ | แคลคูลัส | ทอพอโลยี