Funzione di Dirichlet
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La funzione di Dirichlet si definisce come quella funzione da 
in {0,1} che vale 1 sui razionali e zero sugli irrazionali. Se potessimo disegnarla apparirebbe come due segmenti orizzontali, in y=1 e y=0, "sbiaditi" ovvero fatti di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.
La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale (in effetti infiniti) e un numero irrazionale e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.
La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue.
