Logaritmo

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Si dice logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, se

$x = a^y\,$

segue che:

$y = \log_a x\,$

(si legge: y è il logaritmo in base a di x).

Per esempio, log₃ 81 = 4 perché 3⁴ = 81.

Il logaritmo è l'operazione inversa della potenza, nel senso che $y = log a x$ si ottiene da $x = a y$ scambiando tra loro il ruolo di x e y (la variabile indipendente diventa quella dipendente, e viceversa). Si noti che quando si dice che il logaritmo è l'operazione inversa della potenza, si parla di una potenza con base costante e esponente variabile (si fissa la base a, e al variare dell'esponente x, cioè del logaritmo, si ottiene la potenza y). Quando, invece, si afferma che l'estrazione di radice è l'operazione inversa della potenza, si intende una potenza con base variabile ed esponente costante. Infatti, $y = \sqrt[a]{x}$ deriva da $x = y a$ , dove l'esponente a è costante, mentre la base y varia.

L'espressione $log a x$ ha significato, nel campo reale, solo se la base $a$ è un numero reale positivo e diverso da 1 e l'argomento $x$ è un numero reale positivo. Se la base è nulla e l'argomento è diverso da zero, il logaritmo è impossibile; se la base è nulla e l'argomento è nullo il logartimo è indeterminato. Se la base è 1 e l'argomento è 1, il logaritmo è indeterminato (qualunque numero reale è una soluzione possibile); se la base è 1 e l'argomento è diverso dall'unità il logaritmo è impossibile.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi; nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso si ha:

$\ln{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right), z \in \mathbb{C}$

Indice

1 Funzione logaritmo
2 Cambiamento di base
3 Proprietà dei logaritmi
4 Dimostrazioni delle proprietà dei logaritmi
5 Basi più comuni
6 Derivata e integrale della funzione logaritmo
7 Cenni storici
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Funzione logaritmo

Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

In figura tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718...).

[modifica] Cambiamento di base

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e).
Se b, x, e k sono tutti numeri reali positivi (con b ≠ 1 e k ≠ 1):

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$

dove k è una base qualsiasi.

Per verificare la formula del cambiamento di base si considerino le seguenti equazioni:

$b^{\log_b x } = x\!\,$	per definizione di logaritmo
$\log_k\left( b^{\log_b x} \right) = \log_k x$	facendo il logaritmo della precedente uguaglianza
$\log_b x \, \log_k b = \log_k x$	semplificando dal lato sinistro (vedi più avanti nel paragrafo Proprietà dei logaritmi)
$\log_b x = \frac{\log_k x }{\log_k b }\,\!$	dividendo per log_k b entrambi i membri della precedente uguaglianza

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, abbiamo una relazione che può essere utile:

$\log_b x =\frac{1}{\log_x b }$

[modifica] Proprietà dei logaritmi

Il logaritmo in base $a$ di $a$ è 1:

log a a = 1

Il logaritmo di 1 è, in qualsiasi base, 0:

log m 1 = 0

Vale l' identità:

$a^{\log_a x} = \log_a {a^x} = x$

Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri:

$\log_m (a \cdot b) = \log_m a + \log_m b$

Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore:

$\log_m \frac{a}{b} = \log_m a - \log_m b$

Il logaritmo dell'inverso di $a$ è l'opposto del logaritmo di $a$ :

$\log_m {\frac {1} {a}} = -\log_m a$

Il logaritmo di un numero elevato all'esponente $k$ è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero:

$\log_m a^k = k \cdot \log_m a$

[modifica] Dimostrazioni delle proprietà dei logaritmi

Dimostriamo che $\log_m (a \cdot b) = \log_m a + \log_m b$ .

Siano l e k i logaritmi in base m di a e b:

$l = \log_m a \qquad k = \log_m b$

Per definizione di logaritmo abbiamo:

$m^l = a \qquad m^k = b$

Siccome a e b sono diversi da zero, possiamo moltiplicare i membri ottenendo un'equazione ancora valida:

$m^l \cdot m^k = a \cdot b$

Per le proprietà delle potenze:

$m^{l + k} = a \cdot b$

Per la definizione di logaritmo, otteniamo:

$\log_m {(a \cdot b)} = l + k$

Infine, ricordando come abbiamo definito l e k, otteniamo la tesi:

$l + k = \log_m a + \log_m b = \log_m {a \cdot b }$

Per dimostrare che $\log_m{\frac {a} {b}} = \log_m a - \log_m b$ si agisce in maniera analoga:

$l = \log_m a \qquad k = \log_m b$

$m^l = a \qquad m^k = b$

$\frac {m^l} {m^k} = m^{l-k} = \frac {a} {b}$

$\log_m {\frac {a} {b}} = l - k = \log_m {a} - \log_m {b}$

Dimostriamo ora che $\log_m{a^k} = k \cdot \log_m{a}$ . Se x è il logaritmo in base m di $a k$ , per definizione si ha:

m x = a k

E, operando sulla proprietà delle potenze, si ha:

$\sqrt[k]{m^x} = m^{\frac{x}{k}} = a$

Tornando alla definizione di logaritmo, si ottiene la tesi:

$\log_m{a} = \frac {x} {k} \qquad k \cdot \log_m a = x$

[modifica] Basi più comuni

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da 1, quelle più utilizzate sono tre:

base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log₁₀, più genericamente con log, più raramente con Log.

base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log₂, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

[modifica] Derivata e integrale della funzione logaritmo

La funzione derivata del logaritmo è la seguente:

$\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base e.

L'eguaglianza è dimostrabile col teorema della derivazione di funzioni inverse: Poniamo sia valida l'affermazione

$\frac{d}{dx}e^x =e^x$ .

Applichiamo la tesi del teorema

$\left( f^{-1} \right)' \left( y_0 \right ) = \frac{1}{f' \left( x_0 \right)}$

alla funzione logaritmo, che costituisce l'inverso della funzione esponenziale:

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{\frac{d e^{\ln x}}{d\ln x}} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$ .

L'uguaglianza precedente è dimostrabile anche utilizzando la definizione di derivata:

$\frac{d}{dx} \log_b x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_b (x+h)-\log_b x}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b(\frac{x+h}{x})}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}x}$

e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:

$=\frac{1}{x \ln b}.$

La funzione integrale del logaritmo, con base generica b, è (applicando l'integrazione per parti):

$\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

dove C è la generica costante di integrazione.

[modifica] Cenni storici

I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, come è stato più sopra dimostrato, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi, il logaritmo di un quoziente alla loro differenza e, soprattutto, il logaritmo di una potenza è il prodotto del logaritmo della base della potenza per l'esponente al quale dobbiamo elevarla: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma, un quoziente in una differenza, un elevamento a potenza in un prodotto e, addirittura, un'operazione "complicatissima" come l'estrazione di radice ennesima in una semplice divisione per n. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.

Henry Briggs trattò i logaritmi decimali in Logarithmorum Chilias Prima nel 1617, dove calcolò i logaritmi da 1 a 1000, ciascuno fino alla quattordicesima cifra decimale.